Pitagoro teorema elegantiškai ir praktiškai apibūdina stačiojo trikampio kraštinių ilgius, todėl ši teorema vis dar plačiai naudojama. Šioje teoremoje teigiama, kad bet kurio stačiojo trikampio nekampių kraštinių kvadratų suma yra lygi hipotenuzės kvadratui. Kitaip tariant, jei stačiakampis trikampis su statmenomis kraštinėmis a ir b ir hipotenuzė c, a2 + b2 = c2.
Pitagoro teorema yra vienas iš pagrindinių elementarios geometrijos ramsčių. Šią teoremą naudoja daugybė programų, pavyzdžiui, kad būtų lengviau rasti atstumą tarp dviejų taškų koordinačių plokštumoje.
Žingsnis
1 metodas iš 2: dešiniojo trikampio kraštinių radimas
Žingsnis 1. Įsitikinkite, kad jūsų trikampis yra stačias trikampis
Pitagoro teorema taikoma tik stačiakampiams trikampiams, todėl prieš tęsiant labai svarbu įsitikinti, kad jūsų trikampiai atitinka stačiųjų trikampių savybes. Laimei, yra vienas veiksnys, kuris gali parodyti, kad jūsų trikampis yra stačias trikampis. Jūsų trikampis turi turėti vieną 90 laipsnių kampą.
Kaip ženklas, stačiakampiai trikampiai dažnai žymimi mažais kvadratais, kad būtų pažymėti 90 laipsnių kampai, nenaudojant išlenktų „kreivių“. Ieškokite šio ženklo savo trikampio kampe
Žingsnis 2. Pateikite savo trikampio kraštinių kintamuosius a, b ir c
Pitagoro teoremoje kintamieji a ir b reiškia šonus, kurie susitinka stačiakampiame trikampyje, o kintamasis c - hipotenuzę - ilgąją kraštinę, esančią priešais stačią kampą. Taigi, pirmiausia, pažymėkite trumpąsias trikampio kraštines kintamaisiais a ir b (nesvarbu, ar juos pakeisite), o hipotenuzę pažymėkite kintamuoju c.
Žingsnis 3. Nuspręskite, kurią trikampio kraštą norite išspręsti
Pitagoro teorema leidžia matematikams rasti bet kurio stačiojo trikampio kraštinės ilgį tol, kol jie žino kitų dviejų kraštinių ilgį. Nustatykite, kuri pusė nežinoma - a, b ir (arba) c. Jei vienos pusės ilgis nežinomas, esate pasiruošęs judėti toliau.
- Pavyzdžiui, mes žinome, kad trikampio hipotenuzės ilgis yra 5, o vienos kitos kraštinės - 3, tačiau nesame tikri dėl trečiosios kraštinės ilgio. Šiuo atveju mes žinome, kad ieškome trečiosios pusės ilgio, ir kadangi žinome kitų dviejų ilgį, galime tai išspręsti! Mes spręsime šią problemą atlikdami šiuos veiksmus.
- Jei nežinote dviejų pusių ilgių, turite žinoti vieną iš pusių, kad galėtumėte naudoti Pitagoro teoremą. Pagrindinės trigonometrinės funkcijos gali jums padėti, jei žinote vieną trikampio kraštą, kuris nėra pasviręs.
Žingsnis 4. Prijunkite dvi lygias vertes, kurias jau žinote, į lygtį
Prijunkite trikampio kraštinių ilgius prie lygties a2 + b2 = c2. Atminkite, kad a ir b yra ne nuožulnios pusės, o c yra hipotenuzė.
Mūsų pavyzdyje mes žinome vienos kraštinės ilgį ir hipotenuzę (3 ir 5), todėl lygtis tampa 3² + b² = 5²
Žingsnis 5. Kvadratas
Norėdami išspręsti lygtį, pradėkite nuo žinomų pusių kvadrato. Arba, jei jums tai yra lengviau, galite palikti savo šonų ilgį kvadratu ir vėliau kvadratu.
-
Mūsų pavyzdyje mes kvadratus 3 ir 5, kad gautume
9 žingsnis. da
25 žingsnis.. Lygtį galime parašyti kaip 9 + b² = 25.
Žingsnis 6. Perkelkite nežinomą kintamąjį į kitą lygties pusę
Jei reikia, naudokite pagrindines algebrines operacijas, kad nežinomas kintamasis pereitų į kitą lygties pusę, o kitų dviejų kintamųjų kvadratas - į kitą pusę. Jei norite rasti hipotenuzės ilgį, c jau yra kitoje lygties pusėje, todėl jums nereikia nieko daryti, kad ją perkeltumėte.
Mūsų pavyzdyje dabartinė lygtis yra 9 + b² = 25. Norėdami perkelti b², atimkite abi lygties puses iš 9, taigi rezultatas yra b² = 16
Žingsnis 7. Abiejų lygties pusių kvadratinė šaknis
Dabar tik vienas kintamasis yra kvadratas vienoje pusėje, o skaičius - kitoje. Kvadratinė šaknis iš abiejų pusių, kad rastumėte nežinomos pusės ilgį.
- Mūsų pavyzdyje b² = 16, paėmus abiejų pusių kvadratinę šaknį, gaunama b = 4. Taigi galime pasakyti, kad nežinomos trikampio kraštinės ilgis yra
4 žingsnis..
Žingsnis 8. Naudodami Pitagoro teoremą suraskite tikrojo trikampio kraštines
Šiandien Pitagoro teorema plačiai naudojama todėl, kad ją galima pritaikyti daugybei praktinių situacijų. Išmokite pažinti stačiuosius trikampius realiame gyvenime - bet kokioje situacijoje, kai du objektai ar tiesios linijos susitinka stačiu kampu, o trečias objektas ar linija jungiasi su dviem objektais ar linijomis įstrižai, tuomet galite naudoti Pitagoro teoremą, kad nustatytumėte kraštinės ilgį. kita, jei žinomi kitų dviejų pusių ilgiai.
-
Pabandykime realų pavyzdį, kuris yra šiek tiek sunkesnis. Kopėčios atsiremia į pastatą. Atstumas nuo laiptų apačios iki sienos yra 5 metrai. Laiptų aukštis siekia 20 metrų. Kiek ilgos kopėčios?
-
5 metrai nuo sienos ir 20 metrų aukščio nurodo trikampio kraštinių ilgį. Kadangi siena ir žemė (daroma prielaida) sudaro stačią kampą, o kopėčios yra atremtos į sieną įstrižai, šį išdėstymą galima laikyti stačiu trikampiu, kurio šonų ilgis a = 5 ir b = 20. Kopėčių ilgis yra hipotenuzė, taigi c reikšmė nėra žinoma. Panaudokime Pitagoro teoremą:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- šaknis (425) = c
- c = 20,6. Apytikslis kopėčių ilgis yra 20,6 metro.
-
2 metodas iš 2: Atstumo tarp dviejų taškų X-Y plokštumoje apskaičiavimas
Žingsnis 1. Raskite du taškus X-Y plokštumoje
Pitagoro teorema galima lengvai apskaičiuoti tiesės atstumą tarp dviejų taškų X-Y plokštumoje. Viskas, ką jums reikia žinoti, yra dviejų taškų x ir y koordinatės. Paprastai šios koordinatės rašomos kartu (x, y).
Norėdami rasti atstumą tarp šių dviejų taškų, kiekvieną tašką laikysime vienu iš stačiojo trikampio kampų. Tai padarius, bus nesunku rasti a ir b kraštinių ilgius, o tada apskaičiuoti hipotenuzę c, kuri yra atstumas tarp dviejų taškų
Žingsnis 2. Nubrėžkite du paveikslėlio taškus
Taisyklingoje X-Y plokštumoje kiekvienas taškas (x, y), x reiškia horizontalią koordinatę, o y-vertikalią koordinatę. Atstumą tarp dviejų taškų galite rasti jo nenubrėžę, tačiau tai darydami gausite vizualų vaizdą, kuriuo galėsite įsitikinti, ar jūsų atsakymas teisingas.
Žingsnis 3. Raskite trikampio nesulenktos kraštinės ilgį
Naudodami du taškus kaip trikampio, esančio greta hipotenzijos, kampus, raskite trikampio kraštinių a ir b ilgius. Tai galite padaryti naudodami vaizdą arba naudodami formulę | x1 - x2| horizontaliai pusei ir | y1 - y2| vertikaliai pusei, su (x1, y1) kaip pirmąjį tašką ir (x2, y2) kaip antras punktas.
-
Du mūsų taškai bus (6, 1) ir (3, 5). Mūsų trikampio horizontalios kraštinės ilgis yra:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
3 žingsnis.
-
Vertikalios kraštinės ilgis yra:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
4 žingsnis.
- Taigi, mūsų dešiniajame trikampyje kraštinė a = 3, o kraštinė b = 4.
Žingsnis 4. Naudokite Pitagoro teoremą, kad surastumėte hipotenuzės ilgį
Atstumas tarp dviejų taškų yra trikampio, kurio dvi kraštines ką tik radote, hipotenuzės ilgis. Naudodami Pitagoro teoremą suraskite hipotenuzę, kur a yra pirmosios kraštinės ilgis, o b - antrosios pusės ilgis.
-
Mūsų pavyzdyje mes naudojame taškus (3, 5) ir (6, 1), kurių šonų ilgis yra 3 ir 4, todėl hipotenuzę galime rasti taip:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = šaknis (9+16)
- c = šaknis (25)
- c = 5. Atstumas tarp (3, 5) ir (6, 1) yra 5 žingsnis..
-
Patarimai
-
Hipotenzija visada yra:
- priešais stačią kampą (neliečiant stačio kampo)
- ilgiausia dešiniojo trikampio kraštinė
- Pitagoro teoremoje vadinamas c
- šaknis (x) reiškia x kvadratinę šaknį.
- Nepamirškite visada patikrinti savo atsakymų. Jei jūsų atsakymas atrodo neteisingas, bandykite dar kartą ir bandykite dar kartą.
- Jei trikampis nėra stačiakampis, jums reikia papildomos informacijos, o ne tik kitų dviejų kraštinių ilgių.
- Kitas tikrinimo būdas - ilgiausia kraštinė yra priešais didžiausią kampą, o trumpiausia - prieš mažiausią kampą.
- Skaičiai yra raktas norint užrašyti teisingas a, b ir c reikšmes. Jei dirbate su istorijos problema, būtinai pirmiausia užrašykite problemą paveikslėlio pavidalu.
- Jei žinote tik vienos pusės ilgį, Pitagoro teorema neveikia. Pabandykite naudoti trigonometriją (sin, cos, tan) arba 30-60-90 / 45-45-90 koeficientus.
