3 būdai, kaip išspręsti logaritmus

2024 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-15 08:19

Gali atrodyti, kad logaritmus sunku išspręsti, tačiau logaritmo uždavinių sprendimas yra daug paprastesnis, nei jūs manote, nes logaritmai yra tik dar vienas būdas rašyti eksponentines lygtis. Kai perrašysite logaritmą labiau pažįstama forma, turėtumėte sugebėti jį išspręsti taip, kaip ir bet kurią kitą įprastą eksponentinę lygtį.

Žingsnis

Prieš pradėdami: išmokite eksponentiškai išreikšti logaritmines lygtis

Žingsnis 1. Suprasti logaritmo apibrėžimą

Prieš spręsdami logaritmines lygtis, turite suprasti, kad logaritmai iš esmės yra dar vienas eksponentinių lygčių rašymo būdas. Tikslus apibrėžimas yra toks:

• y = log_b (x)

  Jeigu, ir tik jeigu: b^y = x

• Atminkite, kad b yra logaritmo pagrindas. Ši vertė turi atitikti šias sąlygas:

  • b> 0
  • b nėra lygus 1
• Lygybėje y yra eksponentas, o x yra logaritmo ieškomo eksponentinio skaičiavimo rezultatas.

Žingsnis 2. Apsvarstykite logaritminę lygtį

Žvelgdami į problemos lygtį, ieškokite bazės (b), rodiklio (y) ir eksponentinio (x).

• Pavyzdys:

  5 = žurnalas₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Žingsnis 3. Perkelkite eksponentą į vieną lygties pusę

Perkelkite eksponavimo vertę x į vieną lygybės ženklo pusę.

• Pavyzdžiui:

  1024 = ?

Žingsnis 4. Įveskite eksponento reikšmę į jo bazę

Jūsų bazinė reikšmė b turi būti padauginta iš to paties verčių skaičiaus, kurį rodo eksponentas y.

• Pavyzdys:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Ši lygtis taip pat gali būti parašyta taip: 4⁵

Žingsnis 5. Perrašykite galutinį atsakymą

Dabar turėtumėte sugebėti perrašyti logaritminę lygtį kaip eksponentinę lygtį. Dar kartą patikrinkite savo atsakymą ir įsitikinkite, kad abi lygties pusės turi tą pačią reikšmę.

• Pavyzdys:

  4⁵ = 1024

1 metodas iš 3: X vertės nustatymas

Žingsnis 1. Padalinkite logaritminę lygtį

Atlikite atvirkštinį skaičiavimą, kad perkeltumėte lygties dalį, kuri nėra logaritminė lygtis, į kitą pusę.

• Pavyzdys:

  žurnalą₃(x + 5) + 6 = 10

  • žurnalą₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • žurnalą₃(x + 5) = 4

Žingsnis 2. Perrašykite šią lygtį eksponentine forma

Naudokite tai, ką jau žinote apie logaritminių lygčių ir eksponentinių lygčių ryšį, ir perrašykite jas eksponentine forma, kurią paprasčiau ir lengviau išspręsti.

• Pavyzdys:

  žurnalą₃(x + 5) = 4

  • Palyginkite šią lygtį su [ y = log_b (x)], tada galite daryti išvadą, kad: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Perrašykite lygtį taip: b^y = x
  • 3⁴ = x + 5

Žingsnis 3. Raskite x reikšmę

Kai ši problema bus supaprastinta iki pagrindinės eksponentinės lygties, turėtumėte sugebėti ją išspręsti, kaip ir bet kuri kita eksponentinė lygtis.

• Pavyzdys:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81–5 = x + 5–5
  • 76 = x

Žingsnis 4. Užsirašykite galutinį atsakymą

Galutinis atsakymas, kurį gausite radę x reikšmę, yra atsakymas į jūsų pradinę logaritmo problemą.

• Pavyzdys:

  x = 76

2 metodas iš 3: X vertės nustatymas naudojant logaritminio pridėjimo taisyklę

Žingsnis 1. Supraskite logaritmų pridėjimo taisykles

Pirmoji logaritmų savybė, vadinama „logaritminio pridėjimo taisykle“, teigia, kad produkto logaritmas yra lygus dviejų verčių logaritmų sumai. Parašykite šią taisyklę lygties forma:

• žurnalą_b(m * n) = žurnalas_b(m) + žurnalas_bn)

• Atminkite, kad turi būti taikoma ši informacija:

  • m> 0
  • n> 0

Žingsnis 2. Padalinkite logaritmą į vieną lygties pusę

Naudokite atvirkštinius skaičiavimus, kad perkeltumėte lygties dalis taip, kad visa logaritminė lygtis būtų vienoje pusėje, o kiti komponentai - kitoje pusėje.

• Pavyzdys:

  žurnalą₄(x + 6) = 2 - žurnalas₄(x)

  • žurnalą₄(x + 6) + žurnalas₄(x) = 2 - žurnalas₄(x) + žurnalas₄(x)
  • žurnalą₄(x + 6) + žurnalas₄(x) = 2

Žingsnis 3. Taikykite logaritminio pridėjimo taisyklę

Jei lygtyje yra du logaritmai, galite juos sujungti naudodami logaritmo taisyklę.

• Pavyzdys:

  žurnalą₄(x + 6) + žurnalas₄(x) = 2

  • žurnalą₄[(x + 6) * x] = 2
  • žurnalą₄(x² + 6x) = 2

Žingsnis 4. Perrašykite šią lygtį eksponentine forma

Atminkite, kad logaritmai yra tik dar vienas būdas rašyti eksponentines lygtis. Naudokite logaritminį apibrėžimą, kad perrašytumėte lygtį į formą, kurią galima išspręsti.

• Pavyzdys:

  žurnalą₄(x² + 6x) = 2

  • Palyginkite šią lygtį su [ y = log_b (x)], galite daryti išvadą, kad: y = 2; b = 4; x = x² + 6 kartus
  • Perrašykite šią lygtį taip, kad: b^y = x
  • 4² = x² + 6 kartus

Žingsnis 5. Raskite x reikšmę

Kai ši lygtis pavirs įprasta eksponentine lygtimi, naudokite tai, ką žinote apie eksponentines lygtis, kad rastumėte x reikšmę, kaip įprastai.

• Pavyzdys:

  4² = x² + 6 kartus

  • 4 * 4 = x² + 6 kartus
  • 16 = x² + 6 kartus
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Žingsnis 6. Užsirašykite savo atsakymus

Šiuo metu turėtumėte gauti atsakymą į lygtį. Parašykite savo atsakymą tam skirtoje vietoje.

• Pavyzdys:

  x = 2

• Atminkite, kad negalite pateikti neigiamo atsakymo dėl logaritmo, todėl galite atsikratyti atsakymo x - 8.

3 metodas iš 3: X vertės nustatymas naudojant logaritminio padalijimo taisyklę

Žingsnis 1. Supraskite logaritminio padalijimo taisyklę

Remiantis antrąja logaritmų savybe, vadinama „logaritminio padalijimo taisykle“, padalijimo logaritmą galima perrašyti atimant iš skaitiklio vardiklio logaritmą. Parašykite šią lygtį taip:

• žurnalą_b(m/n) = žurnalas_b(m) - rąstas_bn)

• Atminkite, kad turi būti taikoma ši informacija:

  • m> 0
  • n> 0

Žingsnis 2. Padalinkite logaritminę lygtį į vieną pusę

Prieš spręsdami logaritmines lygtis, turite perkelti visas logaritmines lygtis į vieną lygybės ženklo pusę. Kita lygties pusė turi būti perkelta į kitą pusę. Norėdami tai išspręsti, naudokite atvirkštinius skaičiavimus.

• Pavyzdys:

  žurnalą₃(x + 6) = 2 + žurnalas₃(x - 2)

  • žurnalą₃(x + 6) - žurnalas₃(x - 2) = 2 + žurnalas₃(x - 2) - rąstas₃(x - 2)
  • žurnalą₃(x + 6) - žurnalas₃(x - 2) = 2

Žingsnis 3. Taikykite logaritminio padalijimo taisyklę

Jei lygtyje yra du logaritmai ir vienas iš jų turi būti atimtas iš kito, galite ir turėtumėte naudoti padalijimo taisyklę, kad šie du logaritmai būtų sujungti.

• Pavyzdys:

  žurnalą₃(x + 6) - žurnalas₃(x - 2) = 2

  žurnalą₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Žingsnis 4. Parašykite šią lygtį eksponentine forma

Kai lieka tik viena logaritminė lygtis, naudokite logaritminę apibrėžtį, kad ją užrašytumėte eksponentine forma, pašalindami žurnalą.

• Pavyzdys:

  žurnalą₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Palyginkite šią lygtį su [ y = log_b (x)], galite daryti išvadą, kad: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Perrašykite lygtį taip: b^y = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Žingsnis 5. Raskite x reikšmę

Kai lygtis bus eksponentinė, turėtumėte sugebėti rasti x reikšmę, kaip įprastai.

• Pavyzdys:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24/8
  • x = 3

Žingsnis 6. Užsirašykite galutinį atsakymą

Tyrinėkite ir dar kartą patikrinkite skaičiavimo veiksmus. Įsitikinę, kad atsakymas teisingas, užsirašykite.

• Pavyzdys:

  x = 3