Kaip išspręsti kvadratinių šaknų problemas (su nuotraukomis)

2024 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-15 08:19

Nors kartais tai gali atrodyti bauginanti, kvadratinės šaknies problemą iš tikrųjų nėra taip sunku išspręsti. Paprastos kvadratinių šaknų problemos paprastai gali būti išspręstos taip pat lengvai, kaip ir pagrindinės daugybos ir padalijimo problemos. Sudėtingesniems klausimams reikia šiek tiek papildomų pastangų. Tačiau tinkamai pasirinkus bet kokią sudėtingą problemą galima išspręsti. Šiame straipsnyje mes padėsime jums išspręsti kvadratinių šaknų problemas keliais paprastais žingsniais.

Žingsnis

1 dalis iš 3: Kvadratų ir kvadratinių šaknų supratimas

Žingsnis 1. Kvadratas yra skaičius, padaugintas iš paties skaičiaus

Norint suprasti kvadratinę šaknį, gerai suprasti kvadrato prasmę. Paprasčiau tariant, kvadratas yra skaičius, padaugintas iš paties skaičiaus. Pavyzdžiui, 3 kvadratas yra 3 kartus 3 = 9, o 9 kvadratas - 9 kartus 9 = 81. Kvadratą vaizduoja mažasis 2, esantis skaičiaus kvadrato viršuje dešinėje - taip: 3², 9², 100²ir kt.

Pabandykite kvadratuoti kitus skaičius, kad išbandytumėte šią koncepciją. Atminkite, kad skaičiaus kvadratavimas yra skaičiaus dauginimas iš savęs. Jūs netgi galite kvadratuoti neigiamus skaičius. Rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Pavyzdžiui, -8² = -8 × -8 = 64.

Žingsnis 2. Kvadratinė šaknis yra abipusis kvadratas

Kvadratinės šaknies simbolis (√, dar žinomas kaip „radikalus“simbolis) iš esmės yra priešingas simboliui ². Radę radikalą, paklauskite savęs: koks skaičius, jei jis būtų kvadratas, gautų radikalų viduje? Pavyzdžiui, jei pažvelgsite į √ (9), raskite skaičių, kuris kvadratu yra devyni. Taigi atsakymas yra „trys“, nes 3² = 9.

• Kaip kitą pavyzdį pabandykime rasti kvadratinę šaknį 25 (√ (25)). Tai yra, mes ieškome skaičiaus, kurio kvadratu rezultatas yra 25. Kadangi 5² = 5 × 5 = 25, tada (25) =

  5 žingsnis..

• Kvadratinę šaknį taip pat galima laikyti kvadrato „panaikinimu“. Pavyzdžiui, jei norime rasti (64), kvadratinę šaknį iš 64, tada pagalvokite apie 64 kaip 8². Kadangi kvadratinės šaknies simbolis iš esmės „paneigia“kvadrato simbolį, todėl (64) = (8²) =

  8 žingsnis..

Žingsnis 3. Žinokite skirtumą tarp tobulų ir netobulių kvadratų

Iki šiol mūsų kvadratinių šaknų skaičiavimų rezultatai buvo sveikieji skaičiai. Klausimai, su kuriais susidursite vėliau, nebus tokie lengvi, bus klausimų su dešimtainiais skaičiais ir keliais skaitmenimis po kablelio. Skaičiai, suapvalinti po kvadrato (ty ne trupmeniniai ar dešimtainiai skaičiai), taip pat vadinami „tobulais kvadratais“. Visi ankstesni pavyzdžiai (9, 25 ir 64) yra tobuli kvadratai, nes jei jie yra kvadratu, rezultatas yra sveikas skaičius (3, 5 ir 8).

Kita vertus, skaičiai, kurie nėra suapvalinti po kvadrato, yra „netobuli kvadratai“. Paprastai po kvadrato rezultatas yra trupmeninis arba dešimtainis skaičius. Kartais net skaičiai atrodo labai sudėtingi, pvz., (13) = 3, 605551275464…

Žingsnis 4. Įsiminkite skaičių 1-12 kvadratą

Kaip jau žinote, kvadrato skaičių kvadratuoti yra labai paprasta. Įsiminti skaičių 1–12 kvadratus gali būti labai naudinga, nes šie skaičiai daug atsiras užduotyje. Taigi sutaupysite laiko dirbdami su klausimais. Pirmieji 12 kvadratinių skaičių yra:

• 1² = 1 × 1 =

  1 žingsnis.

• 2² = 2 × 2 =

  4 žingsnis.

• 3² = 3 × 3 =

  9 veiksmas.

• 4² = 4 × 4 =

  16 žingsnis.

• 5² = 5 × 5 =

  25 žingsnis.

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

Žingsnis 5. Supaprastinkite kvadratinę šaknį pašalindami tobulus kvadratus

Surasti netobulo kvadratinio skaičiaus kvadratinę šaknį gali būti sudėtinga, ypač jei nenaudojate skaičiuoklės. Tačiau skaičių, kuris turi būti kvadratas, galima supaprastinti, kad būtų lengviau apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, tiesiog padalinkite skaičių radikalų viduje į kelis veiksnius, tada pašalinkite tobulų kvadratinių skaičių kvadratinę šaknį ir užrašykite atsakymą už radikalų ribų. Šis metodas yra gana paprastas - norėdami geriau suprasti, čia yra daugiau paaiškinimų:

• Tarkime, kad norime apskaičiuoti kvadratinę šaknį 900. Taigi, tiesiog padalinkite 900 į jo veiksnius. „Veiksniai“yra skaičiai, kuriuos galima padauginti, kad būtų gautas kitas skaičius. Pavyzdžiui, skaičių 6 galima gauti padauginus ir 1 × 6 ir 2 × 3, taigi koeficientai 6 yra 1, 2, 3 ir 6.
• Atsižvelgdami į šį principą, suskaidykime 900 į jo veiksnius. Norėdami pradėti, 900 rašome kaip 9 × 100. Kadangi 9 yra tobulas kvadratas, 100 kvadratinę šaknį galime paimti atskirai. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Kitaip tariant, (900) = 3√(100).

• Mes galime jį dar labiau supaprastinti, padaliję 100 į jo veiksnius, būtent 25 ir 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Todėl galima apskaičiuoti (900) = 3 (10) =

  30 žingsnis..

Žingsnis 6. Neigiamo skaičiaus kvadratinei šakniui naudokite įsivaizduojamą skaičių

Pagalvokite, koks skaičius, jei rezultatas kvadratu yra -16? Atsakymas, ne. Visų skaičių kvadratas rezultatas visada yra teigiamas, nes jis yra neigiamas (-), padauginus iš neigiamo, rezultatas yra teigiamas (+). Taigi, norėdami kvadratą neigiamam skaičiui, turime pakeisti neigiamą skaičių įsivaizduojamu skaičiumi (dažniausiai raidžių ar simbolių pavidalu). Pavyzdžiui, kintamasis „i“paprastai naudojamas kvadratinei šakniai -1. Įsivaizduojamas skaičius visada yra neigiamo skaičiaus kvadratinėje šaknyje.

Reikėtų pažymėti, kad nors įsivaizduojami skaičiai niekada nėra vaizduojami skaičiais, jie vis tiek gali būti traktuojami kaip skaičiai įvairiais būdais. Pavyzdžiui, neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį galima kvadratu išimti, kad būtų pašalinta kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, t² = - 1

2 dalis iš 3: naudokite ilgo padalijimo stiliaus algoritmą

1 žingsnis. Išspręskite kvadratinių šaknų problemas, pvz., Ilgo padalijimo problemas

Nors daug laiko reikalaujančios, sudėtingos kvadratinių šaknų problemos gali būti išspręstos be skaičiuoklės. Norėdami tai padaryti, naudosime metodą (arba algoritmą), panašų į ilgo kamino padalijimą.

• Pradėkite rašydami kvadratinės šaknies problemą taip, kaip rašytumėte ilgo padalijimo problemą. Pavyzdžiui, suraskite 6, 45 šaknį, kuri nėra sveikas skaičius. Pirmiausia rašome radikalųjį simbolį (√), tada po juo rašome skaičių, kurio kvadratą norime užimti. Tada nubrėžkite liniją virš skaičių, lygiai taip pat, kaip ilgas krovimas. Dabar „√“simbolis atrodo kaip uodega, kurios apačioje yra skaičius 6.45.
• Rašysime numerius virš problemos, todėl nepamirškite palikti tuščios vietos.

Žingsnis 2. Sugrupuokite skaičiaus skaitmenis į poras

Pirmiausia sugrupuokite po radikalu esančio skaičiaus poras, pradedant nuo kablelio. Padarykite tam tikrą žymeklį (tašką, kablelį, liniją ir tt) tarp porų, kad būtų lengviau stebėti.

Pavyzdinėje užduotyje 6, 45 bus suskirstyti į 6-, 45-00. Atminkite, kad kairėje yra „likę“skaitmenys - tai nėra problema.

Žingsnis 3. Raskite didžiausią skaičių, kurio kvadratinė vertė yra mažesnė arba lygi pirmajai grupei

Pradėkite nuo pirmojo grupės numerio kairėje. Pasirinkite didžiausią skaičių, kurio kvadrato reikšmė grupėje yra mažesnė arba lygi. Pavyzdžiui, jei grupėje yra 37, tada pasirinkite 6, nes 6² = 36 <37, bet 7² = 49> 37. Parašykite šį skaičių virš pirmosios grupės. Šis skaičius yra pirmasis jūsų atsakymo skaitmuo.

• Pavyzdinėje užduotyje pirmoji 6-, 45-00 grupė yra 6. Didžiausias skaičius, kuris kvadratu yra mažesnis arba lygus 6

  2 žingsnis. - 2² = 4. Parašykite skaičių „2“virš 6 ir uodega yra radikalas.

Žingsnis 4. Padauginkite ką tik užrašytą skaičių, tada nuleiskite ir atimkite

Paimkite pirmąjį savo atsakymo skaitmenį (parašytą aukščiau radikalų) ir padauginkite jį. Parašykite atsakymą po pirmąja grupe ir atimkite, kad surastumėte skirtumą. Nuleiskite kitą grupę dešinėje nuo ką tik apskaičiuoto skirtumo. Galiausiai kairėje parašykite paskutinį skaitmenį, padaugintą iš pirmojo atsakymo skaitmens, ir dešinėje palikite tuščią vietą.

Pavyzdinėje užduotyje dvigubas skaičius yra 2 (pirmas ankstesnio atsakymo skaitmuo). 2 × 2 = 4. Tada atimkite 4 iš 6 (iš pirmosios grupės). 6 - 4 rezultatas yra 2. Tada nuleiskite kitą grupę (45) ir gausime 245. Galiausiai kairėje dar kartą parašykite skaičių 4 ir dešinėje palikite šiek tiek vietos: 4_

Žingsnis 5. Užpildykite tuščią vietą

Pridėkite skaitmenis kairėje parašyto skaičiaus dešinėje. Pasirinkite skaitmenį, kuris, padauginus iš šio naujo skaičiaus, suteikia didžiausią vertę, bet vis tiek yra mažesnis arba lygus „išvestiniam skaičiui“. Pvz., Jei „išvestinis skaičius“yra 1700, o kairėje esantis skaičius yra 40_, skaičius, kurį reikia įvesti, yra „4“, nes 404 × 4 = 1616 <1700, o 405 × 5 = 2025. Skaičius rastas šis žingsnis yra antrasis jūsų atsakymo skaitmuo, todėl parašykite jį virš radikalaus simbolio.

• Pavyzdinėje užduotyje ieškosime skaičiaus šalia 4_ × _, kurio atsakymas yra didžiausias, bet mažesnis arba lygus 245. Atsakymas yra

  5 žingsnis.. 45 × 5 = 225, o 46 × 6 = 276.

Žingsnis 6. Toliau naudokite tuščios vietos numerius, kad rastumėte atsakymą

Tęskite ilgo krovimo padalijimo modelį, kol skirtumas tarp gaunamų skaičių atimčių bus lygus nuliui arba bus gautas gana tikslus skaičius. Kai baigsite, skaičiai, kuriuos naudojote užpildydami tuščias vietas kiekviename žingsnyje (plius pats pirmasis jūsų naudojamas skaičius) sudaro kiekvieną jūsų atsakymo skaitmenį.

• Pavyzdžio uždavinyje atimkite 245 iš 220, kad gautumėte 20. Toliau nuleisime kitą skaičių grupę 00 ir gausime 2000. Padauginkite skaičių, esantį virš radikaliojo simbolio, ir gausime 25 × 2 = 50. tuščiuose 50_ × _ =/<2 000, gauname skaičių

  3 žingsnis.. Dabar virš radikalaus simbolio turime „253“- pakartokite šį procesą dar kartą ir gaukite 9 kitu skaitmeniu.

Žingsnis 7. Pašalinkite dešimtainį ženklą iš kilmės

Norėdami gauti galutinį atsakymą, dešimtainį tašką padėkite į teisingą padėtį. Tai paprasta - tiesiog padėkite dešimtainį tašką su dešimtainiu tašku žemiau radikaliojo simbolio. Pavyzdžiui, žemiau radikalų esantis skaičius yra 49, 8, todėl tarp skaičių, esančių virš 8 ir 9, įdėkite dešimtainį tašką.

Pavyzdinėje užduotyje, jei skaičius po radikalu yra 6, 45, dešimtainis kablelis bus vienodas tarp skaitmenų 2 ir 5. Tai reiškia, kad galutinis atsakymas yra 2, 539.

3 dalis iš 3: Greitai įvertinkite netobulius kvadratus

1 žingsnis. Suraskite netobulą kvadratą naudodami apytikslį

Kai įsiminsite tobulus kvadratus, rasti netobulų kvadratų bus daug lengviau. Apgaulė yra surasti tobulą kvadratą prieš ir po numerio, kurio ieškote. Tada nustatykite, kuris iš dviejų tobulų kvadratų yra arčiausiai jūsų ieškomo skaičiaus.

Pavyzdžiui, norime rasti kvadratinę šaknį 40. Puikus kvadratinis skaičius prieš ir po 40 yra 6² ir 7², kuris yra 36 ir 49. Kadangi 40 yra didesnis nei 36 ir mažesnis nei 49, 40 kvadratinė šaknis turi būti tarp 6 ir 7. Skaičius 40 yra arčiau 36 nei 49, taigi kvadratinė šaknis iš 40 yra arčiau 6 Štai keletas žingsnių, kaip rasti tikslų atsakymą.

Žingsnis 2. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį iki vieno skaitmens po kablelio

Nustačius du tobulus kvadratinius skaičius prieš ir po ieškomo skaičiaus, visa kita yra rasti skaičių po kablelio, kuris yra arčiausiai atsakymo. Pradėkite nuo apskaičiuoto vieno skaitmens skaičiaus po kablelio. Šis procesas kartosis tol, kol gausite norimo tikslumo atsakymą.

Pavyzdžio uždavinyje pagrįstas kvadratinės šaknies apytikslis 40 yra 6, 4, nes atsakymas greičiausiai yra arčiau 6 nei 7.

Žingsnis 3. Padauginkite savo apskaičiuotą skaičių iš paties skaičiaus

Kitaip tariant, suapvalinkite savo apytikslį skaičių. Jei jums pasisekė, rezultatas bus problemos numeris. Jei ne, pridėkite arba atimkite skaičius po kablelio, kol surasite kvadratą, esantį arčiausiai skaičiaus.

• Padauginkite 6, 4 iš 6, 4, kad gautumėte 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, kuris yra šiek tiek didesnis nei 40.
• Kadangi pradinis eksperimentas buvo nereikalingas, atimkite apytikslį iš vieno skaičiaus po kablelio, kuris yra 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Šis rezultatas yra šiek tiek mažesnis už problemą. Tai reiškia, kad 40 kvadratinė šaknis yra tarp 6, 3 ir 6, 4. Tada, kadangi 39.69 yra arčiau 40, kvadratinė šaknis iš 40 taip pat yra arčiau 6, 3.

4 žingsnis. Jei reikia, prognozuokite į priekį

Naudokite savo atsakymą, jei manote, kad jis pakankamai tikslus. Bet jei ne, tiesiog tęskite apytikslį modelį, kol rasite atsakymą su trimis ar keturiais skaitmenimis po kablelio - bet kokiu atveju, kol pasieksite norimą tikslumo lygį.

Pavyzdžio uždavinyje pabandykime pasirinkti 6, 33 kaip apytikslius du skaitmenis už kablelio. 6, 33 kvadratas ir rezultatas yra 6, 33 × 6, 33 = 40, 0689. Kadangi rezultatas yra didesnis už uždavinio skaičių, mes stengiamės sumažinti antrąjį skaičių po kablelio iki 6, 32. 6, 32 × 6, 32 = 39, 9424. Šis rezultatas yra šiek tiek mažesnis už uždavinio skaičių. Taigi, kvadratinė šaknis iš 40 yra tarp 6, 33 ir 6, 32. Jei norite tikslesnio atsakymo, toliau rašykite tris, keturis ar net penkis skaitmenis po kablelio.

Patarimai

Norėdami rasti greičiausią sprendimą, naudokite skaičiuotuvą. Šiuolaikiniai skaičiuotuvai dabar gali greitai rasti kvadratinę šaknį. Paprastai tiesiog įveskite ieškomą numerį, tada paspauskite mygtuką su radikaliu simboliu. Pavyzdžiui, norėdami rasti 841 kvadratinę šaknį, tiesiog paspauskite 8, 4, 1, (√) ir pasirodys atsakymas 39.