Tais laikais, kol nebuvo išrasti skaičiuotuvai, studentai ir profesoriai turėjo apskaičiuoti kvadratines šaknis rankiniu būdu. Siekiant įveikti šį sunkų procesą, buvo sukurta keletas skirtingų būdų. Kai kurie būdai pateikia apytikslį įvertinimą, o kiti - tikslią vertę. Norėdami sužinoti, kaip rasti skaičiaus kvadratinę šaknį naudojant paprastas operacijas, pradžiai skaitykite 1 veiksmą.
Žingsnis
1 metodas iš 2: „Prime Factorization“naudojimas
Žingsnis 1. Padalinkite savo skaičių į tobulus kvadratinius koeficientus
Šis metodas naudoja skaičiaus veiksnius, kad surastų skaičiaus kvadratinę šaknį (priklausomai nuo skaičiaus, atsakymas gali būti tikslus skaičius arba artimas apytikslis). Skaičiaus veiksniai yra kitų skaičių rinkinys, kurį padauginus gaunamas tas skaičius. Pavyzdžiui, galite pasakyti, kad koeficientai 8 yra 2 ir 4, nes 2 × 4 = 8. Tuo tarpu tobuli kvadratai yra sveikieji skaičiai, kurie yra kitų sveikųjų skaičių sandauga. Pavyzdžiui, 25, 36 ir 49 yra tobuli kvadratai, nes jie yra atitinkamai 52, 62ir 72. Kaip jau spėjote atspėti, tobuli kvadratiniai veiksniai yra veiksniai, kurie taip pat yra tobuli kvadratai. Norėdami pradėti rasti kvadratinę šaknį naudodami pagrindinį koeficientą, pirmiausia pabandykite supaprastinti savo skaičių iki tobulų kvadratinių koeficientų.
- Panaudokime pavyzdį. Mes norime rankiniu būdu rasti kvadratinę šaknį 400. Norėdami pradėti, padalinsime skaičių į tobulaus kvadrato koeficientus. Kadangi 400 yra 100 kartotinis, žinome, kad 400 dalijasi iš 25 - tobulas kvadratas. Greitai padaliję šešėlius, mes pastebime, kad 400 padalintas iš 25 yra lygus 16. Atsitiktinai 16 taip pat yra tobulas kvadratas. Taigi tobulas kvadratinis koeficientas 400 yra 25 ir 16 nes 25 × 16 = 400.
- Mes galime tai parašyti taip: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Žingsnis 2. Raskite tobulų kvadratinių veiksnių kvadratinę šaknį
Kvadratinės šaknies daugybos savybė teigia, kad bet kurio skaičiaus a ir b atveju Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Dėl šios savybės dabar galime rasti tobulų kvadratinių veiksnių kvadratinę šaknį ir padauginti juos, kad gautume atsakymą.
-
Mūsų pavyzdyje rasime 25 ir 16 kvadratines šaknis. Žiūrėkite žemiau:
- Šaknis (25 × 16)
- Šaknis (25) × Šaknis (16)
-
5 × 4 =
20 žingsnis.
3 veiksmas. Jei jūsų numerio negalima tinkamai apskaičiuoti, supaprastinkite atsakymą paprasčiausiu pavidalu
Realiame gyvenime dažnai skaičiai, kurių jums reikia rasti kvadratinę šaknį, nėra malonūs sveikieji skaičiai su akivaizdžiais tobulais kvadratiniais koeficientais, tokiais kaip 400. Tokiais atvejais gali būti, kad negalime rasti teisingo atsakymo. Tačiau radę kuo daugiau tobulų kvadratinių koeficientų, atsakymą galite rasti kvadratinės šaknies pavidalu, kuris yra mažesnis, paprastesnis ir lengviau apskaičiuojamas. Norėdami tai padaryti, sumažinkite skaičių iki tobulų kvadratinių veiksnių ir netobulių kvadratinių koeficientų derinio, tada supaprastinkite.
-
Kaip pavyzdį panaudokime 147 kvadratinę šaknį. 147 nėra dviejų tobulų kvadratų sandauga, todėl negalime gauti tikslios sveikojo skaičiaus vertės, kaip nurodyta aukščiau. Tačiau 147 yra vieno tobulo kvadrato ir kito skaičiaus - 49 ir 3 - sandauga. Mes galime naudoti šią informaciją, kad parašytume savo paprasčiausią atsakymą taip:
- Šaknis (147)
- = Šaknis (49 × 3)
- = Kvadratas (49) × kvadratas (3)
- = 7 × šaknis (3)
4 žingsnis. Jei reikia, įvertinkite
Naudojant paprasčiausią savo kvadratinę šaknį, paprastai yra gana lengva gauti apytikslį atsakymą į skaičių, atspėjus likusios kvadratinės šaknies vertę ir ją padauginus. Vienas iš būdų atspėti yra ieškoti tobulų kvadratų, kurie yra didesni ir mažesni už kvadratinės šaknies skaičių. Pastebėsite, kad skaičiaus dešimtainė reikšmė jūsų kvadratinėje šaknyje yra tarp dviejų skaičių, todėl galite atspėti dviejų skaičių reikšmę.
-
Grįžkime prie savo pavyzdžio. nes 22 = 4 ir 12 = 1, mes žinome, kad šaknis (3) yra nuo 1 iki 2 - tikriausiai arčiau 2 nei 1. Mes įvertiname 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Jei patikriname savo atsakymą skaičiuoklėje, matome, kad mūsų atsakymas yra gana artimas tikrajam atsakymui 12, 13.
Tai taip pat taikoma didesniems skaičiams. Pavyzdžiui, šaknis (35) gali būti apytikslė nuo 5 iki 6 (galbūt arčiau 6). 52 = 25 ir 62 = 36. 35 yra nuo 25 iki 36, taigi kvadratinė šaknis turi būti nuo 5 iki 6. Kadangi 35 yra tik viena mažesnė nei 36, galime užtikrintai teigti, kad kvadratinė šaknis yra šiek tiek mažesnė nei 6. Tikrinant skaičiuotuvu atsakykite mums apie 5, 92 - mes teisūs.
Žingsnis 5. Arba pirmiausia sumažinkite savo skaičių iki mažiausiai paplitusių veiksnių
Tobulių kvadratų veiksnių rasti nebūtina, jei galite lengvai nustatyti pagrindinius skaičiaus koeficientus (veiksnius, kurie taip pat yra pirminiai skaičiai). Parašykite savo skaičių pagal rečiausiai pasitaikančius veiksnius. Tada raskite pirminių skaičių poras, atitinkančias jūsų veiksnius. Radę du vienodus pagrindinius veiksnius, pašalinkite šiuos du skaičius iš kvadratinės šaknies ir vieną iš šių skaičių padėkite už kvadratinės šaknies.
-
Pavyzdžiui, naudodami šį metodą raskite kvadratinę šaknį iš 45. Mes žinome, kad 45 × 5 ir žinome, kad pagal 9 = 3 × 3. Taigi, mes galime parašyti savo kvadratinę šaknį pagal tokius veiksnius: Sqrt (3 × 3 × 5). Tiesiog pašalinkite abu 3 ir padėkite vieną 3 už kvadratinės šaknies, kad supaprastintumėte savo kvadratinę šaknį iki paprasčiausios formos: (3) Šaknis (5).
Iš čia mus bus lengva įvertinti.
-
Kaip paskutinis problemos pavyzdys, pabandykime rasti kvadratinę šaknį iš 88:
- Šaknis (88)
- = Šaknis (2 × 44)
- = Šaknis (2 × 4 × 11)
- = Šaknis (2 × 2 × 2 × 11). Mūsų kvadratinėje šaknyje yra 2. Kadangi 2 yra pirminis skaičius, galime pašalinti 2s porą ir vieną iš jų sudėti už kvadratinės šaknies.
-
= Mūsų paprasčiausia kvadratinė šaknis yra (2) Sqrt (2 × 11) arba (2) Šaknis (2) Šaknis (11).
Iš čia mes galime įvertinti Sqrt (2) ir Sqrt (11) ir rasti norimą atsakymą.
2 metodas iš 2: kvadratinės šaknies radimas rankiniu būdu
Naudojant ilgo padalijimo algoritmą
Žingsnis 1. Atskirkite savo numerio skaitmenis į poras
Šis metodas naudoja procesą, panašų į ilgą padalijimą, kad surastų tikslią kvadratinės šaknies skaitmenį pagal skaitmenį. Nors tai nėra privaloma, jums gali būti lengviau atlikti šį procesą, jei vizualiai suskirstysite savo darbo vietą ir numerius į lengvai apdorojamas dalis. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, padalijančią jūsų darbo zoną į dvi dalis, tada nubrėžkite trumpesnę horizontalią liniją šalia viršutinės dešinės, kad padalintumėte dešinę dalį į mažesnę viršutinę dalį ir didesnę apatinę dalį. Tada padalinkite savo skaitmenis į poras, pradedant nuo kablelio. Pavyzdžiui, laikantis šios taisyklės 79 520 789 182, 47897 tampa „7 95 20 78 91 82. 47 89 70“. Viršuje kairėje parašykite savo numerį.
Pavyzdžiui, pabandykime apskaičiuoti kvadratinę šaknį 780, 14. Nubrėžkite dvi linijas, kad padalintumėte savo darbo vietą, kaip nurodyta aukščiau, ir viršuje kairėje parašykite „7 80. 14“. Nesvarbu, ar kairiausias numeris yra vienas, o ne skaičių pora. Savo atsakymą (kvadratinė šaknis 780, 14) parašysite viršuje dešinėje
Žingsnis 2. Raskite didžiausią sveikąjį skaičių, kurio kvadrato vertė yra mažesnė arba lygi skaičiui (arba skaičių porai) kairėje
Pradėkite nuo kairiojo savo numerio skaičiaus, tiek skaičių porų, tiek pavienių skaičių. Raskite didžiausią tobulą kvadratą, kuris yra mažesnis arba lygus šiam skaičiui, tada raskite šio tobulo kvadrato kvadratinę šaknį. Šis skaičius yra n. Viršutiniame dešiniajame kampe parašykite n, o apatiniame dešiniajame kvadrante - kvadratą n.
Mūsų pavyzdyje kairioji kairė yra skaičius 7. Kadangi žinome, kad 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, galime sakyti, kad n = 2, nes 2 yra didžiausias sveikasis skaičius, kurio kvadrato reikšmė yra mažesnė arba lygi 7. Viršutiniame dešiniajame kvadrante parašykite 2. Tai yra pirmasis mūsų atsakymo skaitmuo. Apatiniame dešiniajame kvadrante užrašykite 4 (kvadrato reikšmė 2). Šis skaičius yra svarbus kitam žingsniui.
Žingsnis 3. Iš kairės poros atimkite ką tik apskaičiuotą skaičių
Kaip ir ilgo padalijimo atveju, kitas žingsnis yra atimti ką tik rastos kvadrato vertę iš ką tik analizuotos dalies. Parašykite šį skaičių po pirmąja dalimi ir atimkite, parašydami savo atsakymą po juo.
-
Mūsų pavyzdyje parašysime 4 iki 7, tada atimsime. Šis atimtis duoda atsakymą
3 žingsnis..
Žingsnis 4. Nuleiskite kitą porą
Perkelkite žemyn kitą skaičiaus, kurio ieškote kvadratinės šaknies, skiltį šalia ką tik rastos atimties vertės. Tada padauginkite skaičių viršutiniame dešiniajame kvadrante iš dviejų ir atsakymą parašykite apatiniame dešiniajame kvadrante. Šalia skaičiaus, kurį ką tik užsirašėte, palikite tarpą daugybos užduočiai, kurią atliksite atlikdami kitą veiksmą rašydami '"_ × _ ="'.
Mūsų pavyzdyje kita mūsų skaičių pora yra „80“. Kairiajame kvadrante šalia 3 parašykite „80“. Tada padauginkite skaičių viršuje dešinėje iš dviejų. Šis skaičius yra 2, taigi 2 × 2 = 4. Apatiniame dešiniajame kvadrante parašykite „'4“, po to _×_=.
Žingsnis 5. Užpildykite tuščias vietas dešiniajame kvadrante
Jūs turite užpildyti visus tuščius laukus, kuriuos ką tik parašėte, teisingame kvadrante. Šis sveikasis skaičius turi būti didžiausias sveikasis skaičius, dėl kurio produktas dešiniajame kvadrante yra mažesnis arba lygus šiuo metu kairėje esančiam skaičiui.
Mūsų pavyzdyje tuščias vietas užpildome 8, todėl gauname 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Ši vertė yra didesnė nei 384. Taigi 8 yra per didelis, bet 7 gali veikti. Į tuščius laukus įrašykite 7 ir išspręskite: 4 (7) × 7 = 329. 7 yra teisingas skaičius, nes 329 yra mažesnis nei 380. Viršutiniame dešiniajame kvadrante parašykite 7. Tai yra antrasis skaitmuo 780, 14 kvadratinėje šaknyje
Žingsnis 6. Atimkite ką tik apskaičiuotą skaičių iš dabar esančio skaičiaus kairėje
Tęskite atimties grandinę naudodami ilgo padalijimo metodą. Užrašykite problemos rezultatą dešiniajame kvadrante ir atimkite jį iš skaičiaus, kuris dabar yra kairėje, ir toliau rašykite savo atsakymus.
Mūsų pavyzdyje iš 380 atimsime 329, o tai duoda rezultatą 51.
Žingsnis 7. Pakartokite 4 veiksmą
Išveskite kitą skaičiaus dalį, kuriai ieškote kvadratinės šaknies. Pasiekę skaičiaus dešimtainį tašką, atsakyme dešimtainį tašką parašykite viršutiniame dešiniajame kvadrante. Tada padauginkite skaičių viršuje dešinėje iš 2 ir parašykite jį šalia tuščio daugybos uždavinio („_ × _“), kaip nurodyta aukščiau.
Mūsų pavyzdyje, kadangi dabar mes turime reikalą su dešimtainiu tašku 780, 14, po dešimtainio taško parašykite po dabartinio atsakymo viršutiniame dešiniajame kampe. Tada nuleiskite kitą porą (14) kairiajame kvadrante. Dvigubas skaičius viršutiniame dešiniajame kampe (27) yra lygus 54, todėl apatiniame dešiniajame kvadrante parašykite „54 _ × _ =“
Žingsnis 8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus
Raskite didžiausią skaitmenį, kad užpildytumėte dešinėje esančias tuščias vietas, o tai duoda atsakymą, mažesnį arba lygų šiuo metu kairėje esančiam skaičiui. Tada išspręskite problemą.
Mūsų pavyzdyje 549 × 9 = 4941, kuris yra mažesnis arba lygus skaičiui kairėje (5114). 549 × 10 = 5490 yra per didelis, todėl 9 yra jūsų atsakymas. Viršutiniame dešiniajame kvadrante įrašykite 9 kaip kitą skaitmenį ir atimkite sandaugą iš skaičiaus kairėje: 5114 atėmus 4941 yra lygus 173
9. Jei norite toliau skaičiuoti skaitmenis, nuleiskite nulių porą kairėje ir pakartokite 4, 5 ir 6 veiksmus
Norėdami didesnio tikslumo, tęskite šį procesą ir suraskite šimtus, tūkstančius ir daugiau atsakymo vietų. Tęskite šio ciklo naudojimą, kol rasite norimą dešimtainį skaičių.
Proceso supratimas
1 žingsnis. Įsivaizduokite skaičių, kurio kvadratinę šaknį apskaičiavote kaip kvadrato S plotą
Kadangi kvadrato plotas yra P.2 kur P yra vienos iš kraštinių ilgis, tada bandydami rasti savo skaičiaus kvadratinę šaknį, jūs iš tikrųjų bandote apskaičiuoti tos kvadrato pusės ilgį P.
2 žingsnis. Nustatykite kiekvieno atsakymo skaitmens raidžių kintamuosius
Nustatykite kintamąjį A kaip pirmąjį P skaitmenį (kvadratinę šaknį, kurią bandome apskaičiuoti). B bus antrasis skaitmuo, C - trečiasis skaitmuo ir pan.
Žingsnis 3. Nustatykite kiekvienos pradinio skaičiaus dalies raidžių kintamuosius
Nustatykite kintamąjį Sa pirmajai S skaitmenų porai (jūsų pradinė vertė), Sb antrai skaitmenų porai ir kt.
Žingsnis 4. Supraskite šio metodo ir ilgo padalijimo ryšį
Šis kvadratinės šaknies paieškos metodas iš esmės yra ilgo padalijimo problema, kuri padalija jūsų pradinį skaičių iš kvadratinės šaknies ir suteikia jums atsakymo kvadratinę šaknį. Kaip ir ilgo padalijimo problema, jus domina tik kitas skaitmuo kiekviename žingsnyje. Tokiu būdu jus domina tik du kiti kiekvieno žingsnio skaitmenys (tai yra kitas kiekvienos kvadratinės šaknies žingsnis).
Žingsnis 5. Raskite didžiausią skaičių, kurio kvadratinė vertė yra mažesnė arba lygi Sa.
Pirmasis A skaitmuo mūsų atsakyme yra didžiausias sveikasis skaičius, kurio kvadratinė vertė neviršija Sa (ty A, kad A² Sa <(A+1) ²). Mūsų pavyzdyje S.a = 7 ir 2² 7 <3², taigi A = 2.
Atminkite, kad, pavyzdžiui, jei norėjote 88962 padalinti iš 7 naudodami ilgą padalijimą, pirmieji žingsniai yra beveik vienodi: pamatysite pirmąjį 88962 skaitmenį (kuris yra 8) ir ieškote didžiausio skaitmens kuris, padauginus iš 7, yra mažesnis arba lygus 8 Iš esmės jūs ieškote d, kad 7 × d 8 <7 × (d+1). Šiuo atveju d bus lygus 1
Žingsnis 6. Įsivaizduokite kvadrato, kurio plotą ketinate pradėti dirbti, vertę
Jūsų atsakymas, jūsų pradinio skaičiaus kvadratinė šaknis, yra P, kuris apibūdina kvadrato ilgį su sritimi S (jūsų pradinis skaičius). Jūsų A, B, C pažymiai reiškia skaitmenis P reikšme. Kitas būdas tai pasakyti yra 10A + B = P (jei atsakymas yra dviženklis), 100A + 10B + C = P (jei trys skaitmenų atsakymas) ir kt.
Mūsų pavyzdyje (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A+B reiškia mūsų atsakymą, P, kai B yra vienoje padėtyje, o A - dešimtuke. Pavyzdžiui, kai A = 1 ir B = 2, tada 10A+B yra 12. (10A+B) ² yra bendras aikštės plotas, tuo tarpu 100A² yra didžiausios aikštės plotas, B² yra mažiausio kvadrato plotas joje ir 10A × B yra dviejų likusių stačiakampių plotas. Atlikdami šį ilgą ir sudėtingą procesą, mes surandame bendrą kvadrato plotą sudėję kvadratų ir stačiakampių plotus.
7 žingsnis. Iš S atimkite A²a.
Sumažinkite vieną skaičių porą (S.b) iš S. S vertėa Sb arti bendro aikštės ploto, kurį ką tik panaudojote atimti didesnį vidinį kvadratą. Likusi dalis gali būti laikoma skaičiumi N1, kurį gavome atlikdami 4 veiksmą (mūsų pavyzdyje N1 = 380). N1 yra 2 ir kartus: 10A × B + B² (dviejų stačiakampių plotas plius mažesnio kvadrato plotas).
Žingsnis 8. Raskite N1 = 2 × 10A × B + B², kuris taip pat parašytas kaip N1 = (2 × 10A + B) × B
Mūsų pavyzdyje jūs jau žinote N1 (380) ir A (2), todėl turite rasti B. B greičiausiai nėra sveikas skaičius, todėl jums tikrai reikia rasti didžiausią sveikąjį skaičių B, kad (2 × 10A + B) × B N1. Taigi jūs turite: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Žingsnis 9. Baigti
Norėdami išspręsti šią lygtį, padauginkite A iš 2, perkelkite rezultatą į dešimčių padėtį (padauginus iš 10), padėkite B į vienetų padėtį ir padauginkite skaičių iš B. Kitaip tariant, išspręskite (2 × 10A + B) × B. Būtent tai darote, kai 4 veiksme apatiniame dešiniajame kvadrante rašote „N_ × _ =“(su N = 2 × A). 5 veiksme rasite didžiausią sveikąjį skaičių B, kuris atitinka žemiau esantis skaičius, kad (2 × 10A + B) × B N1.
10 žingsnis. Iš viso ploto atimkite plotą (2 × 10A + B) × B
Šis atimtis lemia sritį S- (10A+B) ², kuri nebuvo apskaičiuota (ir kuri bus naudojama taip pat apskaičiuojant kitą skaitmenį).
Žingsnis 11. Norėdami apskaičiuoti kitą skaitmenį C, pakartokite procesą
Nuleiskite kitą porą (S.c) iš S, kad kairėje gautumėte N2, ir raskite didžiausią C, kad turėtumėte (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (atitinka dvigubo dviženklio skaičiaus „AB“parašymą, po kurio eina "_ × _ =". Raskite didžiausią atitinkantį skaitmenį tuščiuose taškuose, o tai duoda atsakymą, mažesnį arba lygų N2, kaip ir anksčiau.
Patarimai
- Dešimtainio taško perkėlimas iš skaičiaus dviejų skaitmenų kartotinio (100 kartotinis) reiškia dešimtainio taško perkėlimą vieno skaitmens kartotiniu jo kvadratinėje šaknyje (10 kartotinį).
- Šiame pavyzdyje 1,73 gali būti laikomas „likučiu“: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Šis metodas gali būti naudojamas bet kuriai bazei, o ne tik 10 (dešimtainei) bazei.
- Galite naudoti jums patogesnį skaičiavimą. Kai kurie žmonės užrašo rezultatą virš pradinio skaičiaus.
- Alternatyvus kartotinių trupmenų naudojimo būdas yra laikytis šios formulės: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti kvadratinę šaknį 780, 14, sveikasis skaičius, kurio kvadrato reikšmė yra arčiausiai 780, 14, yra 28, taigi z = 780, 14, x = 28 ir y = -3, 86. Įveskite reikšmes ir apskaičiuojant tik x + y/(2x) įverčius, gaunama (paprasčiausiai) 78207/20800 arba maždaug 27, 931 (1); kitą kadenciją, 4374188/156607 arba maždaug 27, 930986 (5). Kiekvienas terminas prideda maždaug 3 dešimtųjų tikslumu ankstesnio skaičiaus po kablelio tikslumą.
