3 Algebrinių lygčių koeficiento būdai

2024 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-15 08:19

Matematikoje, faktoringas yra būdas rasti skaičius ar išraiškas, kurias padauginus bus gautas nurodytas skaičius arba lygtis. Faktoringas yra naudingas įgūdis išmokti spręsti paprastas algebros problemas; gebėjimas gerai atsižvelgti į faktorius, tampa svarbus sprendžiant kvadratines lygtis ir kitas daugianarių formas. Faktoringą galima naudoti norint supaprastinti algebrines išraiškas ir palengvinti jų sprendimus. Faktoringas netgi gali suteikti jums galimybę pašalinti tam tikrus galimus atsakymus daug greičiau nei juos išspręsti rankiniu būdu.

Žingsnis

1 metodas iš 3: Skaičiavimo faktūros ir paprastos algebrinės išraiškos

1 žingsnis. Supraskite faktoringo apibrėžimą, kai jis taikomas atskiriems skaičiams

Faktoringas yra paprasta sąvoka, tačiau praktiškai tai gali būti sudėtinga, kai ji taikoma sudėtingoms lygtims. Todėl lengviausia prieiti prie faktoringo sąvokos pradedant paprastais skaičiais, tada pereinant prie paprastų lygčių, prieš galiausiai pereinant prie sudėtingesnių programų. Skaičiaus veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas skaičius. Pavyzdžiui, koeficientai 12 yra 1, 12, 2, 6, 3 ir 4, nes 1 × 12, 2 × 6 ir 3 × 4 yra lygūs 12.

• Kitas būdas galvoti apie tai yra tai, kad skaičiaus veiksniai yra skaičiai, kurie gali tolygiai padalyti į skaičių.

• Ar galite rasti visus skaičiaus 60 veiksnius? Mes naudojame skaičių 60 įvairiems tikslams (minutės per valandą, sekundės per minutę ir pan.), Nes jis gali būti padalintas iš daugybės kitų skaičių.

  60 koeficientai yra 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ir 60

Žingsnis 2. Supraskite, kad taip pat galima atsižvelgti į kintamas išraiškas

Kaip ir pačius skaičius, galima atsižvelgti ir į kintamuosius su skaičių koeficientais. Norėdami tai padaryti, tiesiog suraskite kintamųjų koeficientų veiksnius. Žinoti, kaip atsižvelgti į kintamąjį, labai naudinga supaprastinant algebrines lygtis, kuriose yra tas kintamasis.

• Pavyzdžiui, kintamąjį 12x galima užrašyti kaip koeficientų 12 ir x sandaugą. Mes galime parašyti 12 kartų kaip 3 (4x), 2 (6x) ir tt, naudodami tai, kuris iš 12 veiksnių geriausiai tinka mūsų tikslams.

  Mes galime net kelis kartus padidinti faktorių 12 kartų. Kitaip tariant, mes neturime sustoti ties 3 (4x) arba 2 (6x) - galime 4x ir 6x koeficientus gauti 3 (2 (2x) ir 2 (3 (2x)). Žinoma, šios dvi išraiškos yra lygiaverčiai

Žingsnis 3. Taikykite daugybos skirstomąją savybę veiksnių algebrinėms lygtims

Naudodamiesi savo žiniomis, kaip koeficientais suskirstyti tiek atskirus skaičius, tiek kintamuosius, galite supaprastinti paprastas algebrines lygtis, surasdami veiksnius, kuriuos skaičiai ir kintamieji dalijasi algebrinėse lygtyse. Paprastai, norėdami supaprastinti lygtį, mes stengiamės rasti didžiausią bendrą veiksnį. Šis supaprastinimo procesas yra įmanomas dėl daugybos savybės, taikomos bet kuriam skaičiui a, b ir c. a (b + c) = ab + ak.

• Pabandykime pavyzdinį klausimą. Norėdami faktorizuoti algebrinę lygtį 12x + 6, pirmiausia pabandykime rasti didžiausią bendrąjį koeficientą 12x ir 6. 6 yra didžiausias skaičius, galintis tolygiai padalyti 12x ir 6, todėl lygtį galime supaprastinti iki 6 (2x + 1).
• Šis procesas taip pat taikomas lygtims su neigiamais skaičiais ir trupmenomis. Pavyzdžiui, x/2 + 4 gali būti supaprastintas iki 1/2 (x + 8), o -7x + -21 gali būti suskirstytas į -7 (x + 3).

2 metodas iš 3: kvadratinių lygčių faktoringas

1 žingsnis. Įsitikinkite, kad lygtis yra kvadratinės formos (ax² + bx + c = 0).

Kvadratinių lygčių forma yra kirvis² + bx + c = 0, kur a, b ir c yra skaičių konstantos ir nėra lygios 0 (atkreipkite dėmesį, kad a gali būti lygi 1 arba -1). Jei turite lygtį, kurioje yra vienas kintamasis (x), turintis vieną terminą x, kurio galia yra dvi ar daugiau, paprastai šiuos terminus perkeliate į lygtį naudodami paprastas algebrines operacijas, kad gautumėte 0 iš abiejų lygybės ženklo ir kirvio pusių²ir kt. kitoje pusėje.

• Pavyzdžiui, pagalvokime apie algebrinę lygtį. 5 kartus² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 galima supaprastinti iki x² + 6x + 9 = 0, tai yra kvadrato forma.
• Lygtis su didesne x galia, pvz., X³, x⁴ir kt. nėra kvadratinės lygtys. Šios lygtys yra kubinės lygtys iki ketvirtosios galios ir pan., Nebent lygtį galima supaprastinti, kad būtų pašalinti šie x terminai, kurių galia didesnė nei 2.

Žingsnis 2. Kvadratinėje lygtyje, kur a = 1, koeficientas į (x+d) (x+e), kur d × e = c ir d+e = b

Jei jūsų kvadratinė lygtis yra x formos² + bx + c = 0 (kitaip tariant, jei termino x koeficientas² = 1), įmanoma (bet negarantuojama), kad lygčiai apskaičiuoti gali būti naudojamas gana lengvas santrumpos metodas. Raskite du skaičius, kuriuos padauginus gausite c ir sudedama gaminti b. Ieškoję šių dviejų skaičių d ir e, įveskite juos tokia išraiška: (x+d) (x+e). Šie du terminai, padauginus, suteikia jums kvadratinę lygtį - kitaip tariant, jie yra jūsų kvadratinės lygties veiksniai.

• Pavyzdžiui, pagalvokime apie kvadratinę lygtį x² + 5x + 6 = 0. 3 ir 2 padauginami iš 6 ir taip pat sudedami į 5, todėl šią lygtį galime supaprastinti iki (x + 3) (x + 2).

• Nedidelis šio pagrindinio santrumpos metodo skirtumas slypi pačių panašumų skirtumuose:

  • Jei kvadratinė lygtis yra x formos²-bx+c, jūsų atsakymas yra toks: (x - _) (x - _).
  • Jei lygtis yra x formos²+ bx + c, jūsų atsakymas atrodo taip: (x + _) (x + _).
  • Jei lygtis yra x formos²-bx -c, jūsų atsakymas yra tokios formos (x + _) (x -_).
• Pastaba: tušti skaičiai gali būti trupmenos arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiui, lygtis x² + (21/2) x + 5 = 0 įtraukiamas į (x + 10) (x + 1/2).

3 žingsnis. Jei įmanoma, patikrinkite

Tikėkite ar ne, nesudėtingų kvadratinių lygčių atveju vienas iš leidžiamų faktoringo metodų yra išnagrinėti problemą, tada apsvarstyti galimus atsakymus, kol rasite teisingą atsakymą. Šis metodas taip pat žinomas kaip faktoringas per egzaminą. Jei lygtis yra kirvio formos²+bx +c ir a> 1, jūsų faktoriaus atsakymas yra tokios formos (dx +/- _) (ex +/- _), kur d ir e yra ne nulinių skaičių konstantos, kurias padauginus gaunama a. Nei d, nei e (arba abu) negali būti 1, nors neturi būti. Jei abu yra 1, iš esmės naudojate aukščiau aprašytą santrumpavimo metodą.

Pagalvokime apie problemos pavyzdį. 3 kartus² - 8x + 4 iš pradžių atrodo sunku. Tačiau kai suprantame, kad 3 turi tik du veiksnius (3 ir 1), ši lygtis tampa lengvesnė, nes žinome, kad mūsų atsakymas turi būti (3x +/- _) (x +/- _) formos. Tokiu atveju pridėjus -2 prie abiejų ruošinių gaunamas teisingas atsakymas. -2 × 3x = -6x ir -2 × x = -2x. -6x ir -2x sudeda iki -8x. -2 × -2 = 4, todėl matome, kad skliausteliuose esantys terminai, padauginus, sukuria pradinę lygtį.

Žingsnis 4. Išspręskite užpildę kvadratą

Kai kuriais atvejais kvadratines lygtis galima greitai ir lengvai apskaičiuoti naudojant specialias algebrines tapatybes. Bet kokia kvadratinė lygtis x pavidalu² + 2xh + h² = (x + h)². Taigi, jei jūsų lygtyje jūsų b reikšmė yra dvigubai didesnė už jūsų c vertės kvadratinę šaknį, jūsų lygtis gali būti įtraukta į (x + (šaknis (c)))².

Pavyzdžiui, lygtis x² +6x+9 turi tokią formą. 3² yra 9, o 3 × 2 yra 6. Taigi, mes žinome, kad šios lygties faktoriaus forma yra (x + 3) (x + 3) arba (x + 3)².

Žingsnis 5. Naudokite veiksnius kvadratinėms lygtims spręsti

Nepriklausomai nuo to, kaip suskaičiavote kvadratinę lygtį, kai lygtis bus apskaičiuota, galite rasti galimų atsakymų į x reikšmę, padarę kiekvieną koeficientą lygų nuliui ir juos išsprendę. Kadangi jūs ieškote x reikšmės, dėl kurios jūsų lygtis lygi nuliui, x reikšmė, dėl kurios bet koks koeficientas lygus nuliui, yra galimas atsakymas į jūsų kvadratinę lygtį.

Grįžkime prie x lygties² + 5x + 6 = 0. Ši lygtis įtraukiama į (x + 3) (x + 2) = 0. Jei kuris nors koeficientas yra lygus 0, visos lygtys yra lygios 0, taigi galimi x atsakymai yra skaičiai- skaičius, kurį sudaro (x + 3) ir (x + 2) lygus 0. Šie skaičiai yra atitinkamai -3 ir -2.

Žingsnis 6. Patikrinkite savo atsakymus - kai kurie atsakymai gali būti klaidinantys

Radę galimus x atsakymus, įjunkite juos atgal į pradinę lygtį, kad pamatytumėte, ar atsakymas teisingas. Kartais iš rastų atsakymų iš naujo įvedus pradinė lygtis nėra lygi nuliui. Mes šį atsakymą vadiname deviantu ir ignoruojame.

• Į x įdėkime -2 ir -3² + 5x + 6 = 0. Pirma, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Šis atsakymas yra teisingas, taigi -2 yra teisingas atsakymas.

• Dabar pabandykime -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Šis atsakymas taip pat teisingas, todėl -3 yra teisingas atsakymas.

3 iš 3 metodas: kitų lygčių faktoringas

Žingsnis 1. Jei lygtis išreikšta a forma²-b², koeficientas į (a+b) (a-b).

Lygybės su dviem kintamaisiais turi skirtingus veiksnius nei pagrindinė kvadratinė lygtis. Lygčiai a²-b² viskas, kur a ir b nėra lygus 0, lygties veiksniai yra (a+b) (a-b).

Pavyzdžiui, lygtis 9x² - 4 metai² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Žingsnis 2. Jei lygtis išreikšta a forma²+2ab+b², koeficientas į (a+b)².

Atkreipkite dėmesį, kad jei trinominė forma yra a²-2ab+b², formos veiksniai šiek tiek skiriasi: (a-b)².

4x lygtis² + 8xy + 4m² galima perrašyti 4 kartus² + (2 × 2 × 2) xy + 4 metai². Dabar matome, kad forma yra teisinga, todėl galime būti tikri, kad mūsų lygties veiksniai yra (2x + 2y)²

Žingsnis 3. Jei lygtis išreikšta a forma³-b³, veiksnys į (a-b) (a²+ab+b²).

Galiausiai jau buvo minėta, kad kubines lygtis ir net didesnes galias galima atsižvelgti, nors faktoringo procesas greitai tampa labai sudėtingas.

Pavyzdžiui, 8 kartus³ - 27 metai³ įtraukta į (2x - 3 metai) (4 kartus² + ((2x) (3m)) + 9m²)

Patarimai

• a²-b² galima atsižvelgti, a²+b² negalima atsižvelgti.
• Prisiminkite, kaip apskaičiuoti konstantą. Tai gali padėti.
• Faktoringo procese būkite atsargūs su trupmenomis ir dirbkite su trupmenomis teisingai ir atsargiai.
• Jei turite x formos trinomę²+ bx+ (b/2)², formos koeficientas yra (x+(b/2))². (Užbaigus aikštę galite susidurti su tokia situacija.)
• Atminkite, kad a0 = 0 (sandauga nulis).