„Lygčių sistemoje“jūsų prašoma vienu metu išspręsti dvi ar daugiau lygčių. Kai abi lygtys turi du skirtingus kintamuosius, pavyzdžiui, x ir y, sprendimas iš pradžių gali atrodyti sudėtingas. Laimei, kai žinote, ką turite padaryti, galite tiesiog panaudoti savo algebrinius įgūdžius (ir trupmenų skaičiavimo mokslą), kad išspręstumėte problemą. Taip pat išmokite piešti šias dvi lygtis, jei esate vizualiai besimokantis asmuo arba to reikalauja mokytojas. Piešiniai padės identifikuoti temą arba patikrinti darbo rezultatus. Tačiau šis metodas yra lėtesnis nei kiti metodai ir negali būti naudojamas visoms lygčių sistemoms.
Žingsnis
1 metodas iš 3: Pakeitimo metodo naudojimas
Žingsnis 1. Perkelkite kintamuosius į priešingą lygties pusę
Pakeitimo metodas prasideda „nustatant x reikšmę“(arba bet kurį kitą kintamąjį) vienoje iš lygčių. Pavyzdžiui, pasakykite problemos lygtį 4x + 2y = 8 ir 5x + 3y = 9. Pradėkite nuo pirmosios lygties. Pertvarkykite lygtį, atimdami 2y iš abiejų pusių. Taigi, jūs gaunate 4x = 8-2 m.
Šis metodas dažnai naudoja trupmenas pabaigoje. Jei jums nepatinka skaičiuoti trupmenas, išbandykite toliau nurodytą pašalinimo metodą
Žingsnis 2. Padalinkite abi lygties puses, kad „rastumėte x reikšmę“
Kai terminas x (ar bet koks jūsų naudojamas kintamasis) yra vienoje lygties pusėje, padalinkite abi lygties puses iš koeficientų, kad liktų tik kintamasis. Pavyzdžiui:
- 4x = 8-2 m
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Žingsnis 3. Prijunkite x reikšmę iš pirmosios lygties į antrąją lygtį
Būtinai prijunkite jį prie antrosios lygties, o ne prie tos, prie kurios ką tik dirbote. Pakeiskite (pakeiskite) kintamąjį x antroje lygtyje. Taigi antroji lygtis dabar turi tik vieną kintamąjį. Pavyzdžiui:
- Yra žinomas x = 2 - y.
- Jūsų antroji lygtis yra 5x + 3y = 9.
- Pakeitus x kintamąjį antroje lygtyje su x reikšme iš pirmosios lygties, gauname „2 - y“: 5 (2 - y) + 3y = 9.
Žingsnis 4. Išspręskite likusius kintamuosius
Dabar jūsų lygtis turi tik vieną kintamąjį. Apskaičiuokite lygtį su įprastomis algebrinėmis operacijomis, kad surastumėte kintamojo vertę. Jei abu kintamieji vienas kitą panaikina, pereikite tiesiai prie paskutinio veiksmo. Priešingu atveju gausite vieno iš kintamųjų vertę:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Jei nesuprantate šio veiksmo, sužinokite, kaip pridėti trupmenas.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Žingsnis 5. Naudokite gautą atsakymą, kad surastumėte tikrąją x reikšmę pirmojoje lygtyje
Dar nesustokite, nes jūsų skaičiavimai dar neatlikti. Norėdami rasti likusių kintamųjų vertę, turite įterpti gautą atsakymą į pirmąją lygtį:
- Yra žinomas y = -2
- Viena iš lygčių pirmoje lygtyje yra 4x + 2y = 8. (Galite naudoti bet kurį iš jų.)
- Pakeiskite y kintamąjį -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Žingsnis 6. Žinokite, ką daryti, jei du kintamieji vienas kitą panaikina
Kai įeini x = 3y+2 arba panašus atsakymas į antrąją lygtį, tai reiškia, kad bandote gauti lygtį, kurioje yra tik vienas kintamasis. Kartais jūs tiesiog gaunate lygtį be kintamasis. Dar kartą patikrinkite savo darbą ir įsitikinkite, kad pirmą (lygtinę) lygtį sudėjote į antrą lygtį, o ne grįžtate prie pirmosios. Kai esate tikri, kad nepadarėte nieko blogo, parašykite vieną iš šių rezultatų:
- Jei lygtis neturi kintamųjų ir nėra teisinga (pavyzdžiui, 3 = 5), ši problema neturi atsakymo. (Kai tai nubraižoma, šios dvi lygtys yra lygiagrečios ir niekada nesutampa.)
- Jei lygtis neturi kintamųjų ir Teisingai, (pvz., 3 = 3), tai reiškia, kad klausimas yra neribotų atsakymų. Pirma lygtis yra lygiai tokia pati kaip antroji. (Grafiškai šios dvi lygtys yra ta pati linija.)
2 metodas iš 3: Eliminacijos metodo naudojimas
Žingsnis 1. Raskite vienas kitą išskiriančius kintamuosius
Kartais problemos lygtis jau yra atšaukti vienas kitą kai sumuojama. Pavyzdžiui, jei atliksite lygtį 3x + 2y = 11 ir 5x - 2y = 13, terminai „+2y“ir „-2y“panaikins vienas kitą ir iš lygties pašalins kintamąjį „y“. Pažvelkite į problemos lygtį ir pažiūrėkite, ar yra kintamųjų, kurie vienas kitą panaikina, kaip pavyzdyje. Jei ne, tęskite kitą žingsnį.
Žingsnis 2. Padauginkite lygtį iš vieno, kad būtų pašalintas vienas kintamasis
(Praleiskite šį veiksmą, jei kintamieji jau atšaukia vienas kitą.) Jei lygtyje nėra kintamųjų, kurie savaime panaikina, pakeiskite vieną iš lygčių, kad jos galėtų viena kitą panaikinti. Pažvelkite į šiuos pavyzdžius, kad galėtumėte juos lengvai suprasti:
- Problemos lygtys yra 3x - y = 3 ir - x + 2y = 4.
- Pakeiskime pirmąją lygtį taip, kad kintamasis y atšaukti vienas kitą. (Galite naudoti kintamąjį x. Galutinis atsakymas bus tas pats.)
- Kintamasis - y pirmoje lygtyje turi būti pašalinta + 2 m antroje lygtyje. Kaip, padaugink - y su 2.
- Padauginkite abi lygties puses iš 2 taip: 2 (3x - y) = 2 (3), taigi 6x - 2y = 6. Dabar, gentis - 2m atšauks vienas kitą su +2 m antroje lygtyje.
Žingsnis 3. Sujunkite abi lygtis
Triukas yra pridėti dešinės pirmosios lygties pusę prie dešinės antrosios lygties pusės, o kairę pirmosios lygties pusę pridėti prie kairės antrosios lygties pusės. Jei viskas bus padaryta teisingai, vienas iš kintamųjų vienas kitą panaikins. Pabandykime tęsti skaičiavimą pagal ankstesnį pavyzdį:
- Jūsų dvi lygtys yra 6x - 2y = 6 ir - x + 2y = 4.
- Sudėkite kairę dviejų lygčių pusę: 6x - 2y - x + 2y =?
- Sudėkite abiejų lygčių dešines puses: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Žingsnis 4. Gaukite paskutinę kintamojo reikšmę
Supaprastinkite sudėtinę lygtį ir dirbkite su standartine algebra, kad gautumėte paskutinio kintamojo vertę. Jei po supaprastinimo lygtis neturi kintamųjų, tęskite paskutinį šio skyriaus veiksmą.
Priešingu atveju gausite vieno iš kintamųjų vertę. Pavyzdžiui:
- Yra žinomas 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Grupuoti kintamuosius x ir y kartu: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Supaprastinkite lygtį: 5x = 10
- Raskite x reikšmę: (5x)/5 = 10/5, gauti x = 2.
Žingsnis 5. Raskite kito kintamojo reikšmę
Jūs radote vieno kintamojo vertę, bet kaip su kitu? Prijunkite savo atsakymą į vieną iš lygčių, kad surastumėte likusio kintamojo vertę. Pavyzdžiui:
- Yra žinomas x = 2, ir viena iš problemos lygčių yra 3x - y = 3.
- Pakeiskite x kintamąjį 2: 3 (2) - y = 3.
- Raskite y reikšmę lygtyje: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, taigi 6 = 3 + y
- 3 = y
Žingsnis 6. Žinokite, ką daryti, kai du kintamieji vienas kitą panaikina
Kartais sujungus dvi lygtis gaunama lygtis, kuri neturi prasmės arba nepadeda išspręsti problemos. Peržiūrėkite savo darbą ir, jei esate tikri, kad nieko blogo nepadarėte, parašykite vieną iš šių dviejų atsakymų:
- Jei sujungtoje lygtyje nėra kintamųjų ir ji nėra teisinga (pavyzdžiui, 2 = 7), ši problema neturi atsakymo. Šis atsakymas tinka abiem lygtims. (Kai tai nubraižoma, šios dvi lygtys yra lygiagrečios ir niekada nesutampa.)
- Jei jungtinė lygtis neturi kintamųjų ir Teisingai, (pvz., 0 = 0), tai reiškia, kad klausimas turi neribotų atsakymų. Šios dvi lygtys yra identiškos viena kitai. (Grafiškai šios dvi lygtys yra ta pati linija.)
3 metodas iš 3: nubrėžkite lygčių grafiką
Žingsnis 1. Atlikite šį metodą tik tada, kai nurodoma
Šis metodas gali pateikti tik apytikslius atsakymus, nebent naudojate kompiuterį ar grafinę skaičiuoklę. Jūsų mokytojas ar vadovėlis gali patarti naudoti šį metodą, kad įprastumėte piešti lygtis kaip linijas. Šis metodas taip pat gali būti naudojamas norint patikrinti atsakymą į vieną iš aukščiau pateiktų metodų.
Pagrindinė mintis yra ta, kad turite apibūdinti abi lygtis ir rasti jų sankirtos tašką. X ir y reikšmė šiame sankirtos taške yra atsakymas į problemą
Žingsnis 2. Raskite abiejų lygčių y reikšmes
Nekombinuokite dviejų lygčių ir pakeiskite kiekvieną lygtį taip, kad formatas būtų „y = _x + _“. Pavyzdžiui:
- Jūsų pirmoji lygtis yra 2x + y = 5. Pakeisti į y = -2x + 5.
- Jūsų pirmoji lygtis yra - 3x + 6y = 0. Pakeisti į 6y = 3x + 0ir supaprastinti iki y = x + 0.
- Jei jūsų dvi lygtys yra visiškai vienodos, visa linija yra dviejų lygčių „sankirta“. Rašyk neribotų atsakymų kaip atsakymas.
Žingsnis 3. Nubrėžkite koordinačių ašis
Ant grafiko popieriaus nubrėžkite vertikalią „y ašies“liniją ir horizontalią „x ašies“liniją. Pradėkite nuo dviejų ašių susikirtimo taško (0, 0), užrašykite skaičių etiketes 1, 2, 3, 4 ir pan., Nuosekliai nukreipdami aukštyn į y ašį ir nukreipdami į dešinę x ašyje. Po to užrašykite skaičių etiketes -1, -2 ir tt, nuosekliai nukreipdami žemyn ant y ašies ir nukreipdami į kairę x ašį.
- Jei neturite grafiko popieriaus, naudokite liniuotę, kad įsitikintumėte, jog atstumas tarp kiekvieno skaičiaus yra visiškai vienodas.
- Jei naudojate didelius skaičius arba dešimtainius skaičius, rekomenduojame keisti diagramos mastelį (pvz., 10, 20, 30 arba 0, 1, 0, 2, 0, 3, o ne 1, 2, 3).
Žingsnis 4. Nubrėžkite kiekvienos lygties y-perėmimo tašką
Jei lygtis yra formos y = _x + _, galite pradėti piešti grafiką padarydami tašką, kuriame lygties linija susikerta su y ašimi. Y reikšmė visada yra tokia pati kaip paskutinis lygties skaičius.
-
Tęsiant ankstesnį pavyzdį, pirmoji eilutė (y = -2x + 5) kerta y ašį ties
5 žingsnis.. antra eilutė (y = x + 0) kerta y ašį ties 0. (Šie taškai grafike parašyti kaip (0, 5) ir (0, 0).)
- Jei įmanoma, nubrėžkite pirmąją ir antrąją eilutes skirtingų spalvų rašikliais ar pieštukais.
Žingsnis 5. Tęskite liniją naudodami nuolydį
Lygties formatu y = _x + _, skaičius prieš x rodo linijos „nuolydžio lygį“. Kiekvieną kartą, kai x padidinamas vienu, y reikšmė padidės nuolydžio lygių skaičiumi. Naudokite šią informaciją, kad surastumėte taškus kiekvienai grafiko linijai, kai x = 1. (Taip pat galite įvesti x = 1 į kiekvieną lygtį ir rasti y reikšmę.)
- Tęsiant ankstesnį pavyzdį, eilutė y = -2x + 5 turi nuolydį - 2. Taške x = 1 tiesė juda žemyn 2 iš taško x = 0. Nubrėžkite tiesę, jungiančią (0, 5) su (1, 3).
- Linija y = x + 0 turi nuolydį ½. Kai x = 1, linija juda važiuoti nuo taško x = 0. Nubrėžkite liniją, jungiančią (0, 0) su (1,).
- Jei dvi linijos turi tą patį nuolydį, abu niekada nesikeis. Taigi ši lygčių sistema neturi atsakymo. Rašyk nėra atsakymo kaip atsakymas.
Žingsnis 6. Tęskite linijų sujungimą, kol abi linijos susikerta
Nustokite dirbti ir pažiūrėkite į savo grafiką. jei abi linijos kirto viena kitą, tęskite kitą žingsnį. Jei ne, priimkite sprendimą atsižvelgdami į dviejų eilučių padėtį:
- Jei abi linijos artėja viena prie kitos, toliau sujunkite juostelių taškus.
- Jei abi linijos nutolsta viena nuo kitos, grįžkite atgal ir sujunkite taškus priešingomis kryptimis, pradedant nuo x = 1.
- Jei abi linijos yra labai toli viena nuo kitos, pabandykite peršokti ir sujungti tolimesnius taškus, pavyzdžiui, x = 10.
Žingsnis 7. Raskite atsakymą sankirtos taške
Kai dvi linijos susikerta, x ir y reikšmė tuo metu yra atsakymas į jūsų problemą. Jei jums pasisekė, atsakymas bus visas skaičius. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdyje dvi tiesės susikerta taške (2, 1) taigi atsakymas yra x = 2 ir y = 1. Kai kuriose lygčių sistemose tiesės susikirtimo taškas yra tarp dviejų sveikųjų skaičių, o jei grafikas nėra labai tikslus, sunku nustatyti, kur x ir y reikšmės yra sankirtos taške. Jei leidžiama, kaip atsakymą galite parašyti „x yra nuo 1 iki 2“arba rasti pakeitimo arba pašalinimo metodą.
Patarimai
- Savo darbą galite patikrinti prijungę atsakymus į pradinę lygtį. Jei lygtis pasirodo teisinga (pvz., 3 = 3), tai reiškia, kad jūsų atsakymas teisingas.
- Kai naudojate pašalinimo metodą, kartais turite padauginti lygtį iš neigiamo skaičiaus, kad kintamieji galėtų vienas kitą panaikinti.
