Šakninė forma yra algebrinis teiginys, turintis kvadratinės šaknies (arba kubo šaknies ar aukštesnės) ženklą. Ši forma dažnai gali būti du skaičiai, turintys tą pačią reikšmę, nors iš pirmo žvilgsnio jie gali atrodyti skirtingi (pavyzdžiui, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Todėl mums reikia „standartinės formulės“šiai formai. Jei standartinėje formulėje yra du teiginiai, kurie atrodo skirtingi, jie nėra vienodi. Matematikai sutinka, kad standartinė kvadratinės formos formuluotė atitinka šiuos reikalavimus:
- Venkite naudoti trupmenas
- Nenaudokite dalinių galių
- Venkite naudoti šaknies formą vardiklyje
- Sudėtyje nėra dviejų šaknų formų daugybos
- Skaičiai po šaknimi nebegali būti įsišakniję
Vienas praktinis to panaudojimas yra kelių pasirinkimų egzaminai. Radę atsakymą, bet jūsų atsakymas nėra tas pats, kas galimi variantai, pabandykite jį supaprastinti į standartinę formulę. Kadangi klausimų formuotojai dažniausiai atsakymus rašo standartinėmis formulėmis, darykite tą patį su savo atsakymais, kad jie atitiktų jų. Esė klausimuose tokios komandos kaip „supaprastinti atsakymą“arba „supaprastinti visas šaknis“reiškia, kad mokiniai turi atlikti šiuos veiksmus, kol jie atitinka standartinę formulę, kaip nurodyta aukščiau. Šis žingsnis taip pat gali būti naudojamas lygtims spręsti, nors kai kurių tipų lygtis lengviau išspręsti nestandartinėmis formulėmis.
Žingsnis
1 žingsnis. Jei reikia, peržiūrėkite šaknų ir rodiklių veikimo taisykles (abi lygios - šaknys yra trupmenų galios), nes mums jų reikia šiame procese
Taip pat peržiūrėkite polinomų ir racionaliųjų formų supaprastinimo taisykles, nes mums reikės jas supaprastinti.
1 metodas iš 6: tobuli kvadratai
Žingsnis 1. Supaprastinkite visas šaknis, kuriose yra tobuli kvadratai
Tobulas kvadratas yra paties skaičiaus sandauga, pavyzdžiui, 81, kuris yra 9 x 9 sandauga. Norėdami supaprastinti tobulą kvadratą, tiesiog pašalinkite kvadratinę šaknį ir užsirašykite skaičiaus kvadratinę šaknį.
- Pavyzdžiui, 121 yra tobulas kvadratas, nes 11 x 11 yra lygus 121. Taigi, jūs galite supaprastinti šaknį (121) iki 11, pašalindami šaknies ženklą.
- Kad palengvintumėte šį žingsnį, turėsite prisiminti pirmuosius dvylika tobulų kvadratų: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Žingsnis 2. Supaprastinkite visas šaknis, kuriose yra tobuli kubeliai
Tobulas kubas yra sandauga, padauginus skaičių du kartus iš savęs, pavyzdžiui, 27, kuris yra 3 x 3 x 3. Norėdami supaprastinti tobulo kubo šaknies formą, tiesiog pašalinkite kvadratinę šaknį ir užrašykite kvadratinę šaknį iš skaičiaus.
Pavyzdžiui, 343 yra tobulas kubas, nes yra 7 x 7 x 7 sandauga. Taigi 343 kubo šaknis yra 7
2 metodas iš 6: trupmenų konvertavimas į šaknis
Arba pakeiskite atvirkščiai (kartais tai padeda), bet nemaišykite jų tame pačiame teiginyje kaip root (5) + 5^(3/2). Tarkime, kad norite naudoti šaknies formą, o kvadratinei šakniai naudosime simbolius šaknis (n), o kubo šaknims - sqrt^3 (n).
Žingsnis 1. Paimkite vieną į trupmenos galią ir paverskite ją šaknine forma, pavyzdžiui, x^(a/b) = root į x^a galią
Jei kvadratinė šaknis yra trupmeninė, pakeiskite ją į įprastą formą. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis (2/3) iš 4 = šaknis (4)^3 = 2^3 = 8
2 žingsnis. Konvertuokite neigiamus rodiklius į trupmenas, pavyzdžiui, x^-y = 1/x^y
Ši formulė taikoma tik pastoviems ir racionaliems rodikliams. Jei susiduriate su tokia forma kaip 2^x, nekeiskite jos, net jei problema rodo, kad x gali būti trupmena arba neigiamas skaičius
3 žingsnis. Sujungti tą pačią gentį ir supaprastinti gautą racionalią formą.
3 metodas iš 6: šaknų trupinių pašalinimas
Standartinė formulė reikalauja, kad šaknis būtų sveikasis skaičius.
Žingsnis 1. Pažvelkite į skaičių po kvadratine šaknimi, jei jame vis dar yra trupmena
Jei vis tiek,…
Žingsnis 2. Pakeiskite į trupmeną, susidedančią iš dviejų šaknų, naudodami tapatybės šaknį (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Nenaudokite šios tapatybės, jei vardiklis yra neigiamas arba kintamasis gali būti neigiamas. Tokiu atveju pirmiausia supaprastinkite trupmeną
Žingsnis 3. Supaprastinkite kiekvieną tobulą rezultato kvadratą
Tai yra, konvertuoti kv. (5/4) į kv. (5)/kv. (4), tada supaprastinti į kv. (5)/2.
4 žingsnis. Naudokite kitus supaprastinimo metodus, tokius kaip sudėtingų trupmenų supaprastinimas, vienodų terminų derinimas ir kt
4 metodas iš 6: daugybos šaknų derinimas
1 veiksmas. Jei dauginate vieną šaknies formą iš kitos, sujunkite du į vieną kvadratinę šaknį naudodami formulę:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Pavyzdžiui, pakeiskite šaknį (2)*šaknį (6) į šaknį (12).
- Aukščiau esanti tapatybė sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) galioja, jei skaičius po sqrt ženklu nėra neigiamas. Nenaudokite šios formulės, kai a ir b yra neigiami, nes padarysite klaidą padarę sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Kairėje esantis teiginys lygus -1 (arba neapibrėžtas, jei nenaudojate sudėtingų skaičių), o dešinėje -+1. Jei a ir (arba) b yra neigiami, pirmiausia „pakeiskite“ženklą kaip sqrt (-5) = i*sqrt (5). Jei forma po pagrindiniu ženklu yra kintamasis, kurio ženklas iš konteksto nežinomas arba gali būti teigiamas arba neigiamas, kol kas palikite jį tokį, koks yra. Galite naudoti bendresnę tapatybę, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), kuri taikoma visiems tikriesiems skaičiams a ir b, bet paprastai ši formulė nelabai padeda, nes prideda sgn (signum) funkcijos naudojimo sudėtingumo.
- Ši tapatybė galioja tik tuo atveju, jei šaknų formos turi tą patį rodiklį. Galite padauginti skirtingas kvadratines šaknis, pvz., Sqrt (5)*sqrt^3 (7), konvertuodami jas į tą pačią kvadratinę šaknį. Norėdami tai padaryti, laikinai paverskite kvadratinę šaknį į trupmeną: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Tada naudokite daugybos taisyklę, kad padaugintumėte du iki kvadratinės šaknies 6125.
5 metodas iš 6: kvadrato koeficiento pašalinimas iš šaknies
1 žingsnis. Netobulų šaknų suskirstymas į pagrindinius veiksnius
Veiksnys yra skaičius, kuris padaugintas iš kito skaičiaus sudaro skaičių - pavyzdžiui, 5 ir 4 yra du koeficientai iš 20. Norėdami suskaidyti netobulas šaknis, užsirašykite visus skaičiaus veiksnius (arba kuo daugiau, jei skaičius yra per didelis), kol rasite tobulą kvadratą.
Pavyzdžiui, pabandykite rasti visus veiksnius 45: 1, 3, 5, 9, 15 ir 45. 9 yra koeficientas 45 ir taip pat yra tobulas kvadratas (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
2 veiksmas. Iš kvadratinės šaknies pašalinkite visus daugiklius, kurie yra tobuli kvadratai
9 yra tobulas kvadratas, nes jis yra 3 x 3 sandauga. Paimkite 9 iš kvadratinės šaknies ir pakeiskite 3 priešais kvadratinę šaknį, palikdami 5 kvadratinės šaknies viduje. Jei „įdėjote“3 atgal į kvadratinę šaknį, padauginkite iš savęs, kad gautumėte 9, o jei padauginsite iš 5, tai grąžins 45. 3 šaknys iš 5 yra paprastas būdas išreikšti 45 šaknį.
Tai yra, kv. (45) = sqrt (9*5) = kv. (9)*kv. (5) = 3*kv. (5)
Žingsnis 3. Raskite tobulą kvadratą kintamajame
Kvadrato kvadratinė šaknis yra | a |. Tai galite supaprastinti iki „a“, jei žinomas kintamasis yra teigiamas. Kvadratinė šaknis nuo a iki 3, padalyta į kvadratinę šaknį iš kvadrato kartų a - atminkite, kad eksponentai sudeda, kai padauginame du skaičius iki a, taigi kvadratas a lygus a trečioji galia.
Todėl tobulas kvadratas kubo formos yra kvadratas
Žingsnis 4. Pašalinkite kintamąjį, kuriame yra tobulas kvadratas, iš kvadratinės šaknies
Dabar paimkite kvadratą iš kvadratinės šaknies ir pakeiskite jį į | a |. Paprasta šaknies a forma iki 3 galios yra | a | šaknis a.
5 veiksmas. Sujunkite vienodas sąlygas ir supaprastinkite visas skaičiavimo rezultatų šaknis
6 metodas iš 6: racionalizuokite vardiklį
Žingsnis 1. Standartinė formulė reikalauja, kad vardiklis būtų kuo didesnis (arba daugianaris, jei jame yra kintamasis)
-
Jei vardiklį sudaro vienas terminas po šaknies ženklu, pvz., […]/Šaknis (5), tada padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš tos šaknies, kad gautumėte […]*kv. (5)/kv. (5)*kv. (5) = […]*šaknis (5)/5.
Jei kubo šaknys ar aukštesnės, padauginkite iš atitinkamos šaknies, kad vardiklis būtų racionalus. Jei vardiklis yra šaknis^3 (5), padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš sqrt^3 (5)^2
-
Jei vardiklį sudaro dviejų kvadratinių šaknų, tokių kaip sqrt (2) + sqrt (6), pridėjimas arba atėmimas, daugiklį ir vardiklį padauginkite iš jų konjugato, kuris yra tos pačios formos, bet su priešingu ženklu. Tada […]/(šaknis (2) + šaknis (6)) = […] (šaknis (2)-šaknis (6))/(šaknis (2) + šaknis (6)) (šaknis (2)-šaknis (6)). Tada naudokite dviejų kvadratų skirtumo tapatumo formulę [(a + b) (ab) = a^2-b^2], kad racionalizuotumėte vardiklį, supaprastintumėte (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Tai taip pat taikoma vardikliams, pvz., 5 + sqrt (3), nes visi sveikieji skaičiai yra kitų sveikųjų skaičių šaknys. [1/(5 + kv. (3)) = (5 kv. (3))/(5 + kv. (3)) (5 kv. 2 kv. (3)^2) = (5 kv. (3))/(25-3) = (5 kv. (3))/22]
- Šis metodas taip pat taikomas pridedant šaknis, tokias kaip sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Jei sugrupuosite juos į (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) ir padauginsite iš (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), atsakymas nėra racionalus, bet dar a+b*šaknyje (30), kur a ir b jau yra racionalūs skaičiai. Tada pakartokite procesą su konjugatais a+b*sqrt (30) ir (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) bus racionalu. Iš esmės, jei galite naudoti šį triuką, kad pašalintumėte vieną šaknies ženklą vardiklyje, galite tai pakartoti daug kartų, kad pašalintumėte visas šaknis.
- Šis metodas taip pat gali būti naudojamas vardikliams, turintiems aukštesnę šaknį, pvz., Ketvirtai 3 šaknims arba septintajai šaknims iš 9. Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio konjugato. Deja, mes negalime tiesiogiai gauti vardiklio konjugato ir tai sunku padaryti. Atsakymą galime rasti algebros knygoje apie skaičių teoriją, bet aš į tai nesileisiu.
2 žingsnis. Dabar vardiklis yra racionalios formos, tačiau skaitiklis atrodo netvarkingas
Dabar viskas, ką jums reikia padaryti, tai padauginti iš vardiklio konjugato. Pirmyn ir dauginkitės taip, kaip daugintume daugianarius. Jei įmanoma, patikrinkite, ar kokių nors terminų negalima praleisti, supaprastinti ar sujungti.
3 veiksmas. Jei vardiklis yra neigiamas sveikasis skaičius, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš -1, kad jis būtų teigiamas
Patarimai
- Internete galite ieškoti svetainių, kurios gali padėti supaprastinti šaknines formas. Tiesiog įveskite lygtį su šaknies ženklu ir paspaudus „Enter“pasirodys atsakymas.
- Paprastesniems klausimams galite nenaudoti visų šiame straipsnyje nurodytų veiksmų. Sudėtingesniems klausimams gali tekti kelis kartus atlikti kelis veiksmus. Kelis kartus atlikite „paprastus“veiksmus ir patikrinkite, ar jūsų atsakymas atitinka anksčiau aptartus standartinius formuluotės kriterijus. Jei jūsų atsakymas yra standartinėje formulėje, viskas baigta; bet jei ne, galite patikrinti vieną iš aukščiau pateiktų veiksmų, kad padėtumėte tai padaryti.
- Dauguma nuorodų į „rekomenduojamą standartinę formulę“šaknų formai taip pat taikomos kompleksiniams skaičiams (i = šaknis (-1)). Net jei teiginyje vietoj šaknies yra „i“, venkite vardiklių, kuriuose vis tiek yra i, kiek įmanoma.
- Kai kuriose šio straipsnio instrukcijose daroma prielaida, kad visos šaknys yra kvadratai. Tie patys bendrieji principai taikomi ir aukštesniųjų galių šaknims, nors su kai kuriomis dalimis (ypač racionalizuojant vardiklį) gali būti gana sunku dirbti. Patys nuspręskite, kokios formos norite, pvz., Sqr^3 (4) arba sqr^3 (2)^2. (Nepamenu, kokia forma dažniausiai siūloma vadovėliuose).
- Kai kuriose šio straipsnio instrukcijose „įprastai formai“apibūdinti naudojamas žodis „standartinė formulė“. Skirtumas tas, kad standartinė formulė priima tik formą 1+sqrt (2) arba sqrt (2) +1, o kitas formas laiko nestandartinėmis; Paprasta forma daro prielaidą, kad jūs, skaitytojas, esate pakankamai protingas, kad pamatytumėte šių dviejų skaičių „panašumą“, net jei jie raštu nėra identiški („tas pats“reiškia savo aritmetinę savybę (komutatyvusis pridėjimas), o ne jų algebrinė savybė (šaknis (2) yra x^2-2 šakninis neneigiamas. Tikimės, kad skaitytojai supras nedidelį neatsargumą vartojant šią terminiją.
- Jei kuri nors iš užuominų atrodo dviprasmiška ar prieštaringa, atlikite visus veiksmus, kurie yra nedviprasmiški ir nuoseklūs, tada pasirinkite norimą formą.
