3 būdai supaprastinti algebrines išraiškas

2024 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-15 08:19

Išmokti supaprastinti algebrines išraiškas yra vienas iš pagrindinių algebros įvaldymo raktų ir naudingiausia priemonė, kurią turi turėti kiekvienas matematikas. Supaprastinimas leidžia matematikams sudėtingas, ilgas ir (arba) nelygines išraiškas paversti paprastesnėmis ar lengvesnėmis lygiavertėmis išraiškomis. Pagrindinius supaprastinimo įgūdžius labai lengva išmokti - net tiems, kurie nekenčia matematikos. Atlikus kelis paprastus veiksmus, galima supaprastinti daugelį dažniausiai naudojamų algebrinių išraiškų tipų, nenaudojant jokių specialių matematikos žinių. Norėdami pradėti, peržiūrėkite 1 veiksmą!

Žingsnis

Svarbių sąvokų supratimas

Žingsnis 1. Sugrupuokite panašius terminus pagal jų kintamuosius ir galias

Algebroje panašūs terminai turi tą pačią kintamą konfigūraciją ir tą pačią galią. Kitaip tariant, kad du terminai būtų lygūs, jie turi turėti tą patį kintamąjį arba jo visai neturėti, o kiekvienas kintamasis turi tą pačią galią arba neturi rodiklio. Kintamųjų eilės tvarka nėra svarbi.

Pavyzdžiui, 3 kartus² ir 4 kartus² yra panašūs terminai, nes abu turi kintamąjį x su kvadrato galia. Tačiau x ir x² nėra panašūs į terminus, nes kiekvienas terminas turi kintamąjį x su skirtinga galia. Beveik tie patys, -3yx ir 5xz nėra panašūs terminai, nes kiekvienas terminas turi skirtingą kintamąjį.

Žingsnis 2. Faktorius, parašydamas skaičių kaip dviejų veiksnių sandaugą

Faktoringas yra tam tikro skaičiaus užrašymo kaip dviejų padaugintų veiksnių sandauga. Skaičiai gali turėti daugiau nei vieną veiksnių rinkinį - pavyzdžiui, 12 galima gauti iš 1 × 12, 2 × 6 ir 3 × 4, taigi galime pasakyti, kad 1, 2, 3, 4, 6 ir 12 yra veiksniai iš 12 Kitas būdas tai įsivaizduoti yra tai, kad skaičiaus veiksniai yra skaičiai, dalijantys visą skaičių.

• Pavyzdžiui, jei norėtume atsižvelgti į 20, galėtume tai parašyti taip 4 × 5.
• Atminkite, kad taip pat galima atsižvelgti į kintančius terminus. Pavyzdžiui, -20x galima parašyti kaip 4 (5 kartus).
• Negalima atsižvelgti į pirminius skaičius, nes juos galima padalyti tik iš savęs ir 1.

Žingsnis 3. Naudokite akronimą KaPaK BoTaK, kad prisimintumėte operacijų tvarką

Kartais išraiškos supaprastinimas tiesiog išsprendžia lygties operaciją, kol ji nebeveikia. Tokiais atvejais labai svarbu prisiminti operacijų tvarką, kad neatsirastų aritmetinių klaidų. Akronimas KaPaK BoTaK padės jums prisiminti operacijų tvarką - raidės nurodo operacijų, kurias turėtumėte atlikti, rūšis tokia tvarka:

• Knepavykti
• Pkeltuvas
• Kali
• Bvėl
• Tpapildyti
• Kkrevetės

1 metodas iš 3: sujunkite panašius terminus

Žingsnis 1. Užsirašykite savo lygtį

Paprasčiausios algebrinės lygtys, apimančios tik keletą kintamųjų terminų su sveikųjų skaičių koeficientais ir be trupmenų, šaknų ir pan., Dažnai gali būti išspręstos vos keliais žingsniais. Daugeliui matematikos užduočių pirmasis žingsnis supaprastinant lygtį yra jos užrašymas!

Kaip pavyzdinę problemą, keliems kitiems veiksmams naudojame išraišką 1 + 2x - 3 + 4x.

Žingsnis 2. Nustatykite panašias gentis

Toliau savo lygtyje ieškokite panašių terminų. Atminkite, kad panašūs terminai turi tą patį kintamąjį ir rodiklį.

Pavyzdžiui, identifikuokime panašius terminus mūsų lygtyje 1 + 2x - 3 + 4x. 2x ir 4x abu turi tą patį kintamąjį su ta pačia galia (šiuo atveju x neturi laipsnio). Be to, 1 ir -3 yra panašūs terminai, nes jie neturi kintamųjų. Taigi mūsų lygtyje, 2x ir 4x ir 1 ir -3 yra panašios gentys.

Žingsnis 3. Sujunkite panašius terminus

Dabar, kai nustatėte panašius terminus, galite juos sujungti, kad supaprastintumėte lygtį. Pridėkite terminus (arba atimkite neigiamų terminų atveju), kad sutrumpintumėte terminų, turinčių tą patį kintamąjį ir eksponentą, rinkinį iki vieno lygaus termino.

• Pridėkime panašių terminų mūsų pavyzdyje.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Žingsnis 4. Sukurkite paprastesnę lygtį iš supaprastintų terminų

Sujungę panašius terminus, sudarykite lygtį iš naujo, mažesnio terminų rinkinio. Gausite paprastesnę lygtį, kurioje yra vienas terminas skirtingiems kintamųjų ir galių rinkiniams pirminėje lygtyje. Ši nauja lygtis yra lygiavertė pradinei lygčiai.

Mūsų pavyzdyje mūsų supaprastinti terminai yra 6x ir -2, taigi mūsų nauja lygtis yra 6x - 2. Ši paprasta lygtis yra lygiavertė originalui (1 + 2x - 3 + 4x), tačiau trumpesnė ir lengviau dirbti. Taip pat lengviau atsižvelgti į veiksnius, kuriuos apžvelgsime toliau, o tai yra dar vienas svarbus supaprastinimo įgūdis.

Žingsnis 5. Derindami panašius terminus vadovaukitės operacijų tvarka

Labai paprastomis lygtimis, tokiomis kaip mes dirbome aukščiau pateiktame pavyzdyje, nesunku nustatyti panašius terminus. Tačiau sudėtingesnėse lygtyse, tokiose kaip išraiškos, apimančios skliaustinius terminus, trupmenas ir šaknis, pavyzdžiui, terminai, kuriuos galima sujungti, gali būti aiškiai nematomi. Tokiais atvejais vadovaukitės operacijų tvarka ir atlikite operacijas pagal savo išraiškos sąlygas, kol prireiks pridėjimo ir atėmimo operacijų.

• Pavyzdžiui, naudokime lygtį 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Būtų neteisinga iš karto 3x ir 2x laikyti panašiais terminais ir juos sujungti, nes išraiškos skliausteliuose nurodoma, kad pirmiausia turime atlikti kitas operacijas. Pirma, mes atliekame aritmetines išraiškos operacijas operacijų tvarka, kad gautume terminus, kuriuos galime naudoti. Žr.

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3 kartus. Kadangi vienintelės likusios operacijos yra sudėjimas ir atimtis, galime derinti panašius terminus.
  • x² + (15x - 3x) + (8-5)
  • x² + 12x + 3

2 metodas iš 3: Faktoringas

1 žingsnis. Nustatykite didžiausią bendrą išraiškos veiksnį

Faktoringas yra būdas supaprastinti išraišką, pašalinant išraiškos veiksnius, kurie yra vienodi. Norėdami pradėti, suraskite didžiausią bendrą veiksnį, kurį turi visi terminai - kitaip tariant, didžiausią skaičių, kuris padalija visus išraiškos terminus.

• Panaudokime 9x lygtį² + 27x - 3. Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas šios lygties terminas dalijasi iš 3. Kadangi terminai nesidalija iš didesnio skaičiaus, galime pasakyti, kad

  3 žingsnis. yra didžiausias mūsų bendras veiksnys.

Žingsnis 2. Padalinkite išraiškos terminus iš didžiausio bendro veiksnio

Tada padalinkite kiekvieną savo lygties terminą iš didžiausio bendro veiksnio, kurį ką tik radote. Dalinių sąlygų koeficientas bus mažesnis nei pradinės lygties.

• Skaičiuokime savo lygtį pagal didžiausią bendrą koeficientą 3. Norėdami tai padaryti, kiekvieną terminą padalinsime iš 3.

  • 9x²/3 = 3 kartus²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Taigi mūsų nauja išraiška yra 3 kartus² + 9x - 1.

Žingsnis 3. Parašykite savo išraišką kaip didžiausio bendro veiksnio sandaugą, padaugintą iš likusių terminų

Jūsų nauja išraiška nėra lygiavertė pradinei išraiškai, todėl būtų neteisinga teigti, kad išraiška buvo supaprastinta. Kad mūsų nauja išraiška būtų lygi originalui, turime įtraukti tai, kad mūsų išraiška buvo padalyta iš didžiausio bendro veiksnio. Įterpkite skliausteliuose naują išraišką ir skliausteliuose užrašykite didžiausią bendrą pradinės lygties veiksnį.

Mūsų lygties pavyzdyje 3x² + 9x - 1, išraišką galime uždėti skliausteliuose ir padauginti iš didžiausio bendro pradinės lygties koeficiento, kad gautume 3 (3 kartus² + 9x - 1). Ši lygtis yra lygi pradinei lygčiai 9x² +27x - 3.

Žingsnis 4. Naudokite faktoringą, kad supaprastintumėte trupmenas

Dabar jums gali kilti klausimas, kodėl naudojamas faktoringas, jei net ir pašalinus didžiausią bendrą veiksnį, nauja išraiška turi būti dar kartą padauginta iš to faktoriaus. Tiesą sakant, faktoringas leidžia matematikams atlikti įvairius triukus, siekiant supaprastinti išraiškas. Vienas iš lengviausių jo triukų yra tas, kad padauginus trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus, galima gauti lygiavertes trupmenas. Žr.

• Pasakykite mūsų pradinį išraiškos pavyzdį, 9x² + 27x - 3, yra didesnės trupmenos kiekybinis rodiklis, kurio skaitiklis yra 3. Truputis atrodys taip: (9x² + 27x - 3)/3. Mes galime naudoti faktoringą, kad supaprastintume trupmenas.

  • Skaitiklio išraišką pakeisime pradinės išraiškos faktoringo forma: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Atkreipkite dėmesį, kad dabar tiek skaitiklio, tiek vardiklio koeficientas yra 3. Dalijant skaitiklį ir vardiklį iš 3, gauname: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Kadangi bet kuri trupmena, kurios vardiklis yra 1, yra lygiavertė skaitiklio sąlygoms, galime pasakyti, kad mūsų pradinę trupmeną galima supaprastinti iki 3 kartus² + 9x - 1.

3 metodas iš 3: papildomų supaprastinimo įgūdžių taikymas

Žingsnis 1. Supaprastinkite trupmenas dalindami iš tų pačių veiksnių

Kaip minėta aukščiau, jei lygties skaitiklis ir vardiklis turi tuos pačius veiksnius, šiuos veiksnius trupmenoje galima visiškai praleisti. Kartais reikės atsižvelgti į skaitiklį, vardiklį arba abu (kaip ir aukščiau pateiktame pavyzdyje), o kartais tie patys veiksniai dažnai yra akivaizdūs. Atkreipkite dėmesį, kad norint gauti paprastą išraišką, skaitiklis taip pat gali būti padalintas iš vardiklio lygties.

• Panagrinėkime pavyzdį, kurio nereikia išnagrinėti. Trupmenoms (5x² + 10x + 20)/10, norėdami supaprastinti, kiekvieną skaitiklio terminą galime padalyti iš 10, net jei koeficientas yra 5 iš 5x² yra ne didesnis kaip 10, taigi 10 nėra veiksnys.

  Jei tai padarysime, gausime ((5x²)/10) + x + 2. Jei norėtume, pirmąjį terminą galėtume perrašyti kaip (1/2) x² taigi gauname (1/2) x² +x+2.

Žingsnis 2. Naudokite kvadratinius veiksnius, kad supaprastintumėte šaknis

Išraiška po šaknies ženklu vadinama šaknine išraiška. Šią išraišką galima supaprastinti nustatant kvadratinius veiksnius (veiksnius, kurie yra sveikųjų skaičių kvadratai) ir atskirai atliekant kvadratinės šaknies operaciją, kad jie būtų pašalinti iš kvadratinės šaknies ženklo.

• Padarykime paprastą pavyzdį - (90). Jei mes manome, kad 90 yra dviejų jo veiksnių - 9 ir 10 - sandauga, galime paimti kvadratinę šaknį iš 9, kuri yra sveikasis skaičius 3, ir pašalinti ją iš radikalaus ženklo. Kitaip tariant:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Žingsnis 3. Padaugindami du rodiklius pridėkite eksponentus; dalijant atimti

Kai kurioms algebrinėms išraiškoms reikia dauginti arba dalinti galios terminus. Užuot skaičiavę ar padaliję kiekvieną eksponentą rankiniu būdu, tiesiog sudėkite eksponentus daugindami ir atimkite padaliję, kad sutaupytumėte laiko. Ši sąvoka taip pat gali būti naudojama supaprastinti kintamas išraiškas.

• Pavyzdžiui, naudokime išraišką 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Bet kokiu atveju, kai reikia padauginti ar padalyti eksponentus, atitinkamai atimsime arba pridėsime eksponentus, kad greitai rastume paprastą terminą. Žr.

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Žemiau rasite paaiškinimą, kaip tai veikia:

  • Sąlygų dauginimas eksponentais iš tikrųjų yra lyg terminų dauginimas ne ilgosiose eksponentose. Pavyzdžiui, todėl, kad x³ = x × x × x ir x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) arba x⁸.
  • Beveik tas pats, dalinantis rodiklius yra tarsi dalijantys terminai, o ne ilgi eksponentai. x⁵/x³ = (x x x x x x x x x)/(x x x x x x). Kadangi kiekvienas skaitiklio terminas gali būti perbrauktas suradus tą patį terminą vardiklyje, skaitiklyje liko tik du x, o apačioje - nieko, todėl pateikiamas atsakymas x².

Patarimai

• Visada atminkite, kad turite įsivaizduoti šiuos skaičius turinčius teigiamų ir neigiamų ženklų. Daugelis žmonių sustoja pagalvoję, kokį ženklą turėčiau čia dėti?
• Jei reikia, paprašykite pagalbos!
• Supaprastinti algebrines išraiškas nėra lengva, tačiau kai tai suprasite, naudosite visą likusį gyvenimą.

Įspėjimas

• Visada ieškokite panašių genčių ir neapsigaukite pagal rangą.
• Įsitikinkite, kad nepridėjote skaičių, galių ar operacijų, kurių nereikėtų daryti netyčia.