Polinome yra kintamasis (x), kurio galia, žinoma kaip laipsnis, ir keli terminai ir (arba) konstantos. Skaičiuoti daugianarį reiškia suskaidyti lygtį į paprastesnes lygtis, kurias galima padauginti. Šis įgūdis yra 1 ar naujesnės algebros ir gali būti sunku suvokti, jei jūsų matematikos įgūdžiai nėra tokio lygio.
Žingsnis
Pradėti
Žingsnis 1. Nustatykite lygtį
Standartinis kvadratinės lygties formatas yra:
kirvis2 + bx + c = 0
Pradėkite užsakydami lygties terminus nuo didžiausios iki mažiausios galios, kaip ir šiuo standartiniu formatu. Pavyzdžiui:
6 + 6 kartus2 + 13x = 0
Mes pertvarkysime šią lygtį, kad būtų lengviau dirbti tiesiog perkėlus terminus:
6x2 + 13x + 6 = 0
2 veiksmas. Raskite formos koeficientą vienu iš šių metodų
Faktorizuojant polinomą gaunamos dvi paprastesnės lygtys, kurias galima padauginti, kad būtų gautas pradinis daugianaris:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Šiame pavyzdyje (2x + 3) ir (3x + 2) yra pradinės 6x lygties koeficientai2 +13x+6.
Žingsnis 3. Patikrinkite savo darbą
Padauginkite turimus veiksnius. Tada sujunkite panašius terminus ir baigsite. Pradėti nuo:
(2x + 3) (3x + 2)
Pabandykime padauginti terminus naudodami PLDT (pirmasis - išorė - viduje - paskutinis), todėl gauname:
6x2 + 4x + 9x + 6
Iš čia galime pridėti 4x ir 9x, nes jie yra panašūs terminai. Mes žinome, kad mūsų veiksniai yra teisingi, nes gauname pradinę lygtį:
6x2 + 13x + 6
1 metodas iš 6: bandymas ir klaida
Jei turite gana paprastą daugianarį, jūs galite rasti veiksnius patys, tiesiog pažvelgę į juos. Pavyzdžiui, po praktikos daugelis matematikų gali suprasti, kad lygtis yra 4x2 + 4x + 1 koeficientas yra (2x + 1) ir (2x + 1) tik dažnai žiūrint. (Tai, žinoma, nebus lengva sudėtingesniems polinomams). Šiame pavyzdyje naudokime rečiau naudojamą lygtį:
3 kartus2 + 2–8
Žingsnis 1. Parašykite termino a ir termino c veiksnių sąrašą
Naudojant kirvio lygties formatą2 + bx + c = 0, nustatykite terminus a ir c ir užrašykite veiksnius, kuriuos turi abu terminai. Už 3x2 + 2x - 8, tai reiškia:
a = 3 ir turi veiksnių rinkinį: 1 * 3
c = -8 ir turi keturis veiksnių rinkinius: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ir -1 * 8.
Žingsnis 2. Užsirašykite du skliaustelių rinkinius su tuščiomis vietomis
Kiekvienai lygčiai užpildysite tuščias vietas, kurias sukūrėte:
(x) (x)
Žingsnis 3. Užpildykite tuščias vietas priešais x su galimomis veiksnių poromis a reikšmei
Mūsų pavyzdyje terminas a - 3 kartus2mūsų pavyzdyje yra tik viena galimybė:
(3x) (1x)
Žingsnis 4. Užpildykite dvi tuščias vietas po x konstantos veiksnių poromis
Tarkime, kad pasirenkame 8 ir 1. Į juos įrašykite:
(3 kartus
8 žingsnis.)(
1 žingsnis
Žingsnis 5. Nustatykite ženklą (plius arba minus) tarp kintamojo x ir skaičiaus
Atsižvelgiant į pradinėje lygtyje esančius ženklus, gali būti įmanoma ieškoti konstantų ženklų. Tarkime, mes vadiname dvi konstantas h ir k dėl dviejų veiksnių:
Jei kirvis2 + bx + c tada (x + h) (x + k)
Jei kirvis2 - bx - c arba ax2 + bx - c tada (x - h) (x + k)
Jei kirvis2 - bx + c tada (x - h) (x - k)
Mūsų pavyzdyje 3 kartus2 + 2x - 8, ženklai yra šie: (x - h) (x + k), duodami mums du veiksnius:
(3x + 8) ir (x - 1)
Žingsnis 6. Patikrinkite savo pasirinkimą naudodami pirmojo iš paskutinio dauginimą (PLDT)
Pirmasis greitas testas yra patikrinti, ar vidurio terminas turi bent jau teisingą vertę. Jei ne, galbūt pasirinkote neteisingus c veiksnius. Išbandykime savo atsakymą:
(3x + 8) (x - 1)
Dauginant gauname:
3 kartus2 - 3x + 8x - 8
Supaprastinus šią lygtį pridedant panašius terminus (-3x) ir (8x), gauname:
3 kartus2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Dabar mes žinome, kad turėjome naudoti netinkamus veiksnius:
3 kartus2 + 5x - 8 3x2 + 2–8
Žingsnis 7. Jei reikia, pakeiskite pasirinkimą
Mūsų pavyzdyje pabandykime 2 ir 4, o ne 1 ir 8:
(3x + 2) (x - 4)
Dabar mūsų c terminas yra -8, bet mūsų išorinis/vidinis produktas (3x * -4) ir (2 * x) yra -12x ir 2x, kurie kartu nesukurs teisingo b +2x nario.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Žingsnis 8. Jei reikia, pakeiskite tvarką
Pabandykime pakeisti 2 ir 4:
(3x + 4) (x - 2)
Dabar mūsų c terminas (4 * 2 = 8) yra teisingas, tačiau išorinis/vidinis produktas yra -6x ir 4x. Jei juos sujungsime:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Esame beveik arti 2x, ko ieškome, tačiau ženklas neteisingas.
Žingsnis 9. Jei reikia, dar kartą patikrinkite žymas
Mes naudosime tą pačią tvarką, bet pakeisime lygtis su minuso ženklu:
(3x - 4) (x + 2)
Dabar terminas c nėra problema, o dabartinis išorinis/vidinis produktas yra (6x) ir (-4x). Kadangi:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Dabar galime naudoti teigiamą 2x iš pradinės problemos. Tai turi būti teisingi veiksniai.
2 metodas iš 6: Skilimas
Šis metodas nustatys visus galimus terminų a ir c veiksnius ir panaudos juos teisingiems veiksniams surasti. Jei skaičiai yra per dideli arba spėliojama daug laiko, naudokite šį metodą. Panaudokime pavyzdį:
6x2 + 13x + 6
Žingsnis 1. Padauginkite terminą a iš termino c
Šiame pavyzdyje a yra 6, o c taip pat yra 6.
6 * 6 = 36
2 žingsnis. Sąvoką b gaukite faktoringo ir testavimo būdu
Mes ieškome dviejų skaičių, kurie yra mūsų identifikuoto produkto a * c veiksniai, taip pat pridedami prie termino b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Žingsnis 3. Pakeiskite du skaičius, kuriuos gausite į savo lygtį pridėję terminą b
Naudokime k ir h, kad pavaizduotume du turimus skaičius - 4 ir 9:
kirvis2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Žingsnis 4. Faktorizuokite daugianarį grupuojant
Sutvarkykite lygtis taip, kad galėtumėte paimti didžiausią bendrąjį pirmojo ir antrojo terminų veiksnį. Veiksnių grupė turi būti ta pati. Pridėkite didžiausią bendrąjį veiksnį ir padėkite jį skliaustuose šalia veiksnių grupės; rezultatas yra du jūsų veiksniai:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
3 metodas iš 6: trigubas žaidimas
Panašiai kaip irimo metodas, trigubo žaidimo metodas nagrinėja galimus veiksnius padauginus terminus a ir c ir naudojant b reikšmę. Pabandykite naudoti šią lygties pavyzdį:
8x2 + 10x + 2
Žingsnis 1. Padauginkite terminą a iš termino c
Kaip ir analizavimo metodas, tai padės mums nustatyti kandidatus b kadencijai. Šiame pavyzdyje a yra 8, o c yra 2.
8 * 2 = 16
2 žingsnis. Raskite du skaičius, kuriuos padauginus iš skaičių, gaunamas šis skaičius, kurio bendra suma lygi terminui b
Šis žingsnis yra tas pats, kas analizuoti - mes išbandome ir atmetame kandidatus į konstantą. Terminų a ir c sandauga yra 16, o termino c yra 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Žingsnis 3. Paimkite šiuos du skaičius ir išbandykite juos, prijungdami juos prie trigubo žaidimo formulės
Paimkite du mūsų ankstesnio žingsnio skaičius - vadinkime juos h ir k - ir prijunkite juos prie lygties:
((kirvis + h) (kirvis + k))/ a
Mes gausime:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Žingsnis 4. Atkreipkite dėmesį, ar kuris nors iš dviejų skaitiklio terminų dalijasi iš a
Šiame pavyzdyje matėme, ar (8x + 8), ar (8x + 2) dalijasi iš 8. (8x + 8) dalijasi iš 8, todėl šį terminą padalinsime iš a ir kitus faktorius paliksime ramybėje.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Skliausteliuose esantis terminas yra tai, kas lieka po to, kai padalijame iš termino a.
Žingsnis 5. Paimkite didžiausią bendrą koeficientą (GCF) iš vieno ar abiejų terminų, jei tokių yra
Šiame pavyzdyje antrojo termino GCF yra 2, nes 8x + 2 = 2 (4x + 1). Sujunkite šį rezultatą su terminu, gautu iš ankstesnio veiksmo. Tai yra jūsų lygties veiksniai.
2 (x + 1) (4x + 1)
4 metodas iš 6: kvadratinių šaknų skirtumas
Kai kurie daugianarių koeficientai gali būti „kvadratai“arba dviejų skaičių sandauga. Šių kvadratų identifikavimas leidžia greičiau apskaičiuoti kelis polinomus. Išbandykite šią lygtį:
27x2 - 12 = 0
1 žingsnis. Jei įmanoma, pašalinkite didžiausią bendrą veiksnį
Šiuo atveju matome, kad 27 ir 12 dalijasi iš 3, todėl gauname:
27x2 - 12 = 3 (9 kartus2 - 4)
Žingsnis 2. Nustatykite, ar jūsų lygties koeficientai yra kvadratiniai skaičiai
Norėdami naudoti šį metodą, turite sugebėti paimti abiejų terminų kvadratinę šaknį. (Atminkite, kad ignoruosime neigiamą ženklą - kadangi šie skaičiai yra kvadratai, jie gali būti dviejų teigiamų arba neigiamų skaičių sandauga)
9x2 = 3x * 3x ir 4 = 2 * 2
Žingsnis 3. Naudodami gautą kvadratinę šaknį, užsirašykite veiksnius
Mes paimsime a ir c reikšmes iš aukščiau pateikto žingsnio - a = 9 ir c = 4, tada suraskime kvadratinę šaknį - a = 3 ir c = 2. Rezultatas yra koeficiento koeficientas:
27x2 - 12 = 3 (9 kartus2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
5 metodas iš 6: kvadratinė formulė
Jei visa kita nepavyksta ir lygtis negali būti suskaičiuota visa, naudokite kvadratinę formulę. Išbandykite šį pavyzdį:
x2 + 4x + 1 = 0
1 veiksmas. Įveskite reikiamas vertes į kvadratinę formulę:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Mes gauname lygtį:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Žingsnis 2. Raskite x reikšmę
Jūs gausite dvi vertybes. Kaip parodyta aukščiau, mes gauname du atsakymus:
x = -2 + (3) arba x = -2 -(3)
Žingsnis 3. Naudokite savo x reikšmę, kad surastumėte veiksnius
Prijunkite gautas x reikšmes į dvi daugianario lygtis kaip konstantas. Rezultatas yra jūsų veiksniai. Jei atsakymus vadiname h ir k, užrašome du veiksnius taip:
(x - h) (x - k)
Šiame pavyzdyje mūsų galutinis atsakymas yra toks:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
6 metodas iš 6: skaičiuoklės naudojimas
Jei jums leidžiama naudoti skaičiuotuvą, grafinė skaičiuoklė labai palengvina faktoringo procesą, ypač atliekant standartizuotus testus. Šios instrukcijos yra skirtos TI grafikų skaičiuotuvui. Mes naudosime lygties pavyzdį:
y = x2 x 2
Žingsnis 1. Įveskite savo lygtį į skaičiuotuvą
Naudosite lygties faktoringą, kuris ekrane parašytas [Y =].
Žingsnis 2. Nubraižykite lygtį naudodami skaičiuotuvą
Įvedę lygtį, paspauskite [GRAPH] - pamatysite lygią kreivę, vaizduojančią jūsų lygtį (o forma yra kreivė, nes mes naudojame polinomus).
Žingsnis 3. Raskite vietą, kurioje kreivė susikerta su x ašimi
Kadangi daugianarės lygtys paprastai rašomos kaip kirvis2 + bx + c = 0, ši sankirta yra antroji x reikšmė, dėl kurios lygtis yra lygi nuliui:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Jei žiūrėdami negalite nustatyti, kur grafikas susikerta su x ašimi, paspauskite [2nd] ir tada [TRACE]. Paspauskite [2] arba pasirinkite nulį. Perkelkite žymeklį į sankryžos kairę ir paspauskite [ENTER]. Perkelkite žymeklį į sankryžos dešinę ir paspauskite [ENTER]. Perkelkite žymeklį kuo arčiau sankryžos ir paspauskite [ENTER]. Skaičiuotuvas ras x reikšmę. Taip darykite ir kitose sankryžose
Žingsnis 4. Prijunkite x reikšmę, gautą iš ankstesnio žingsnio, į dviejų faktorių lygtį
Jei abi x reikšmes pavadintume h ir k, lygtys, kurias naudosime, būtų:
(x - h) (x - k) = 0
Taigi, du mūsų veiksniai yra šie:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Patarimai
- Jei turite TI-84 skaičiuotuvą (grafiką), yra programa, vadinama SOLVER, kuri išspręs jūsų kvadratines lygtis. Ši programa išspręs bet kokio laipsnio polinomus.
- Jei terminas nerašomas, koeficientas yra 0. Naudinga perrašyti lygtį, jei taip yra, pavyzdžiui: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Jei apskaičiavote savo daugianarį naudodami kvadratinę formulę ir gavote atsakymą pagal šaknis, galbūt norėsite patikrinti x reikšmę į trupmeną.
- Jei terminas neturi rašytinio koeficiento, koeficientas yra 1, pavyzdžiui: x2 = 1x2.
- Po pakankamai praktikos galų gale galėsite apskaičiuoti polinomus savo galvoje. Kol to nepadarysite, būtinai visada užsirašykite, kaip tai padaryti.
