Trinomial yra algebrinė išraiška, susidedanti iš trijų terminų. Labiausiai tikėtina, kad pradėsite mokytis apskaičiuoti kvadratinį trinomį, o tai reiškia trinomiją, parašytą kirvio forma2 + bx + c. Turite išmokti keletą gudrybių, kurios gali būti naudojamos daugeliui skirtingų kvadratinių trinomių tipų, tačiau jas galėsite geriau ir greičiau panaudoti praktikoje. Aukštesnės eilės daugianariai su tokiais terminais kaip x3 arba x4, ne visada gali būti išspręstos vienodai, tačiau dažnai galite naudoti paprastą faktoringą arba pakeitimą, kad tai taptų problema, kurią galima išspręsti kaip ir bet kurią kitą kvadratinę formulę.
Žingsnis
1 metodas iš 3: Faktoringas x2 + bx + c
1 žingsnis. Išmokite PLDT daugybos
Galbūt išmokote padauginti PLDT arba „Pirma, išorė, vidinė, paskutinė“, kad padaugintumėte tokias išraiškas kaip (x+2) (x+4). Pravartu žinoti, kaip veikia šis dauginimas, prieš imant veiksnius:
- Padauginkite gentis Pirmas: (x+2)(x+4) = x2 + _
-
Padauginkite gentis Lauke: (x+2) (x+
4 žingsnis.) = x2+ 4 kartus + _
-
Padauginkite gentis In: (x+
2 žingsnis.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _
-
Padauginkite gentis Finalas: (x+
2 žingsnis.) (x
4 žingsnis.) = x2+4x+2x
8 žingsnis.
- Supaprastinti: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Žingsnis 2. Supraskite faktoringą
Padauginus du binomus naudojant PLDT metodą, gausite trinomialį (išraišką su trimis terminais) x pavidalu2+ b x+ c, kur a, b ir c yra paprasti skaičiai. Jei pradėsite nuo lygties, kurios forma yra tokia pati, galite ją suskaidyti į dvi dvejetaines.
- Jei lygtys nėra parašytos tokia tvarka, pertvarkykite lygtis taip, kad jos būtų tokios eilės. Pavyzdžiui, perrašykite 3x - 10 + x2 Tapo x2 + 3 - 10.
- Kadangi didžiausia galia yra 2 (x2, ši išraiškos rūšis vadinama kvadratine.
Žingsnis 3. Palikite tuščią vietą atsakymui PLDT daugybos pavidalu
Kol kas tiesiog rašykite (_ _)(_ _) kur parašysi atsakymą. Mes jį užpildysime dirbdami
Nerašykite + arba - tarp tuščių terminų, nes mes dar nežinome teisingo ženklo
Žingsnis 4. Užpildykite pirmąsias sąlygas
Esant paprastoms problemoms, pirmasis jūsų trinomio narys yra tik x2, Pirmoje pozicijoje esantys terminai visada yra x ir x. Tai yra termino x veiksniai2 nes x kartus x = x2.
- Mūsų pavyzdys x2 + 3x - 10 pradedant x2, todėl galime parašyti:
- (x _) (x _)
- Kitame skyriuje aptarsime sudėtingesnes problemas, įskaitant trinomines, pradedant tokiomis sąvokomis kaip 6x2 arba -x2. Tuo tarpu atlikite šiuos pavyzdinius klausimus.
Žingsnis 5. Naudokite faktoringą, kad atspėtumėte paskutinius terminus
Jei grįšite atgal ir perskaitysite PLDT padauginimo veiksmus, pamatysite, kad padauginus paskutinius terminus gausime paskutinį polinomo terminą (terminai, neturintys x). Taigi, norėdami atsižvelgti į faktorių, turime rasti du skaičius, kuriuos padauginus gaunamas paskutinis terminas.
- Mūsų pavyzdyje x2 + 3x - 10, paskutinis terminas yra -10.
- Kokie yra -10 veiksniai? Koks skaičius dauginamas iš -10?
- Yra keletas galimybių: -1 kartas 10, 1 kartas -10, -2 kartus 5 arba 2 kartus -5. Užrašykite šias poras kur nors, kad jas prisimintumėte.
- Kol kas nekeiskite mūsų atsakymo. Mūsų atsakymas vis tiek turėtų atrodyti taip: (x _) (x _).
Žingsnis 6. Išbandykite galimybes, atitinkančias išorinį ir vidinį gaminį
Paskutinius terminus susiaurinome iki kelių galimybių. Naudokite bandymo sistemą, kad išbandytumėte visas galimybes, padauginkite išorinius ir vidinius terminus ir palyginkite produktą su mūsų trinominiu. Pavyzdžiui:
- Mūsų pirminės problemos terminas „x“buvo 3 kartus, todėl mūsų bandymų rezultatai turėtų atitikti šį terminą.
- Bandymai -1 ir 10: (x -1) (x+10). Išorė + vidus = 10x - x = 9x. Neteisinga.
- 1 ir -10 bandymai: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Tai yra blogai. Tiesą sakant, jei išbandysite -1 ir 10, pamatysite, kad 1 ir -10 yra priešingi aukščiau pateiktam atsakymui: -9x vietoj 9x.
- Bandymai -2 ir 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Rezultatas atitinka pradinį daugianarį, todėl čia teisingas atsakymas: (x-2) (x+5).
- Tokiais paprastais atvejais, kaip priešais terminą x, neturite konstantos2, galite naudoti greitą būdą: tiesiog sudėkite du veiksnius ir uždėkite „x“už jo (-2+5 → 3x). Tačiau šis metodas netinka sudėtingesnėms problemoms spręsti, todėl geriau prisiminti aukščiau aprašytą „ilgą kelią“.
2 metodas iš 3: sudėtingesnių trinomijų faktoringavimas
Žingsnis 1. Norėdami supaprastinti sudėtingesnes problemas, naudokite paprastą faktoringą
Pavyzdžiui, turite atsižvelgti 3 kartus2 + 9x - 30. Raskite skaičių, kuris gali atsižvelgti į visus tris terminus („didžiausias bendras veiksnys“arba GCF). Šiuo atveju GCF yra 3:
- 3 kartus2 = (3) (x2)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Taigi, 3 kartus2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Mes galime apskaičiuoti naują trinomiją atlikdami aukščiau esančio skyriaus veiksmus. Galutinis mūsų atsakymas bus (3) (x-2) (x+5).
Žingsnis 2. Ieškokite sudėtingesnių veiksnių
Kartais faktoringas gali apimti kintamąjį arba gali tekti kelis kartus atsižvelgti, kad rastumėte kuo paprastesnę išraišką. Štai keletas pavyzdžių:
- 2x2y + 14xy + 24y = (2 metai)(x2 + 7x + 12)
- x4 + 11 kartų3 - 26 kartus2 = (x2)(x2 +11x - 26)
- -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
- Nepamirškite iš naujo sukonfigūruoti naujo trinomolio, atlikdami 1 metodo veiksmus. Patikrinkite savo darbą ir ieškokite panašių problemų pavyzdžių pavyzdiniuose klausimuose, esančiuose šio puslapio apačioje.
Žingsnis 3. Išspręskite problemas, susijusias su skaičiumi priešais x2.
Kai kurių kvadratinių trinialių negalima sumažinti iki paprasčiausio tipo problemos. Sužinokite, kaip išspręsti tokias problemas kaip 3 kartus2 + 10x + 8, tada praktikuokitės savarankiškai pateikdami klausimų pavyzdžius šio puslapio apačioje:
- Nustatykite mūsų atsakymą: (_ _)(_ _)
- Mūsų pirmieji terminai turės po vieną x, o juos padauginus gausite 3 kartus2. Yra tik viena galimybė: (3x _) (x _).
- Išvardykite 8 veiksnius. Šansai yra 1 kartas 8 arba 2 kartus 4.
- Išbandykite šią galimybę naudodami išorinius ir vidinius terminus. Atkreipkite dėmesį, kad veiksnių tvarka yra labai svarbi, nes išorinis terminas dauginamas iš 3 kartų, o ne iš x. Išbandykite visas galimybes, kol išeisite+In = 10x (nuo pradinės problemos):
- (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x ne
- (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x ne
- (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x ne
- (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x taip. Tai yra teisingas veiksnys.
Žingsnis 4. Naudokite aukštesnės eilės trinomių pakeitimą
Jūsų matematikos knyga gali jus nustebinti lygtimis, turinčiomis didelę galią, pvz., X4, net ir po to, kai naudojate paprastą faktoringą, kad problema būtų lengvesnė. Pabandykite pakeisti naują kintamąjį, kuris paverčia jį problema, kurią žinote, kaip išspręsti. Pavyzdžiui:
- x5+13 kartų3+36 kartus
- = (x) (x4+13 kartų2+36)
- Sukurkime naują kintamąjį. Tarkime, y = x2 ir įdėkite į jį:
- (x) (y2+13m+36)
- = (x) (y+9) (y+4). Dabar konvertuokite jį į pradinį kintamąjį:
- = (x) (x2+9) (x2+4)
- = (x) (x ± 3) (x ± 2)
3 iš 3 metodas: specialių atvejų faktoringas
Žingsnis 1. Raskite pirminius skaičius
Pažiūrėkite, ar konstanta pirmajame ar trečiajame trinomio naryje yra pirminis skaičius. Pirminis skaičius dalijasi tik iš savęs ir 1, todėl galima tik viena dvejetainių veiksnių pora.
- Pavyzdžiui, x2 + 6x + 5, 5 yra pirminis skaičius, todėl dvejetainis turi būti (_ 5) (_ 1) formos.
- 3x problemoje2+10x+8, 3 yra pirminis skaičius, todėl dvejetainis turi būti (3x _) (x _) formos.
- Klausimams 3x2+4x+1, tiek 3, tiek 1 yra pirminiai skaičiai, todėl vienintelis galimas sprendimas yra (3x+1) (x+1). (Vis tiek turėtumėte padauginti šį skaičių, kad patikrintumėte savo atsakymą, nes kai kurių išraiškų apskritai negalima atsižvelgti, pavyzdžiui, 3 kartus2+100x+1 neturi koeficiento.)
Žingsnis 2. Sužinokite, ar trinomija yra tobulas kvadratas
Tobulą kvadratinį trinomį galima padalyti į du identiškus dvejetainius, o koeficientas paprastai rašomas kaip (x+1)2 o ne (x+1) (x+1). Štai keletas pavyzdžių, kurie dažniausiai atsiranda klausimuose:
- x2+2x+1 = (x+1)2ir x2-2x+1 = (x-1)2
- x2+4x+4 = (x+2)2ir x2-4x+4 = (x-2)2
- x2+6x+9 = (x+3)2ir x2-6x+9 = (x-3)2
- Tobula kvadratinė trinomė x formos2 + bx + c visada turi terminus a ir c, kurie yra teigiami tobuli kvadratai (pvz., 1, 4, 9, 16 arba 25) ir vienas terminas b (teigiamas arba neigiamas), lygus 2 (√a * √c).
Žingsnis 3. Sužinokite, ar problema neturi sprendimo
Ne visus trinomius galima atsižvelgti. Jei negalite apskaičiuoti kvadratinio trinomio (kirvis)2+bx+c), naudokite kvadratinę formulę, kad rastumėte atsakymą. Jei vienintelis atsakymas yra neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, nėra realaus skaičiaus sprendimo, tada problema neturi veiksnių.
Ne kvadratiniams trinomams naudokite Eizenšteino kriterijų, kuris aprašytas skyriuje Patarimai
Atsakymai ir pavyzdiniai klausimai
-
Atsakymai į „sudėtingus faktoringo“klausimus.
Tai klausimai iš „sudėtingesnių veiksnių“. Mes supaprastinome problemas į lengvesnes, todėl pabandykite jas išspręsti atlikdami 1 metodo veiksmus, tada patikrinkite savo darbą čia:
- (2 metai) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
-
Išbandykite sudėtingesnes faktoringo problemas.
Šios problemos turi tą patį veiksnį kiekvienoje sąvokoje, į kurią pirmiausia reikia atsižvelgti. Užblokuokite tuščias vietas po lygybės ženklo, kad pamatytumėte atsakymus, kad galėtumėte patikrinti savo darbą:
- 3 kartus3+3 kartus2-6x = (3x) (x+2) (x-1) užblokuokite tuščią, kad pamatytumėte atsakymą
- -5 kartus3y2+30 kartų2y2-25 m2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
-
Pratinkite naudotis klausimais. Šių problemų negalima įtraukti į lengvesnes lygtis, todėl atsakymą turėsite rasti formoje (_x + _) (_ x + _), naudodami bandymus ir klaidas:
- 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) blokas, kad pamatytumėte atsakymą
- 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Patarimas: galbūt norėsite išbandyti daugiau nei vieną veiksnių porą 9 kartus.)
Patarimai
- Jei negalite suprasti, kaip apskaičiuoti kvadratinę trinomę (kirvis)2+bx+c), galite naudoti kvadratinę formulę, kad surastumėte x.
-
Nors jums nereikia žinoti, kaip tai padaryti, galite naudoti Eizenšteino kriterijus, kad greitai nustatytumėte, ar daugianario negalima supaprastinti ir suskaičiuoti. Šis kriterijus taikomas bet kuriam daugianariui, bet geriausiai tinka trinomėms. Jei yra pirminis skaičius p, kuris tolygiai padalija paskutinius du narius ir atitinka šias sąlygas, tai daugianario negalima supaprastinti:
- Pastovūs terminai (be kintamųjų) yra p kartotiniai, bet ne p kartotiniai2.
- Priešdėlis (pavyzdžiui, a kirvyje2+bx+c) nėra p kartotinis.
- Pavyzdžiui, 14 kartų2 +45x +51 negalima supaprastinti, nes yra pirminis skaičius (3), kurį galima padalyti tiek iš 45, tiek iš 51, bet nesidalinti iš 14, o 51 nesidalija iš 32.
Įspėjimas
Nors tai pasakytina apie kvadratinius triniumus, trinominis, kurį galima apskaičiuoti, nebūtinai yra dviejų binomijų produktas. Pavyzdžiui, x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
