Kvadratinė lygtis yra lygtis, kurios aukščiausias laipsnis yra 2 (kvadratas). Yra trys pagrindiniai kvadratinės lygties sprendimo būdai: kvadratinės lygties skaičiavimas, jei galite, naudojant kvadratinę formulę arba užpildant kvadratą. Jei norite įsisavinti šiuos tris metodus, atlikite šiuos veiksmus.
Žingsnis
1 metodas iš 3: Faktoringo lygtys
Žingsnis 1. Sujunkite visus vienodus kintamuosius ir perkelkite juos į vieną lygties pusę
Pirmasis žingsnis į lygties faktorizavimą yra visų vienodų kintamųjų perkėlimas į vieną lygties pusę su x2yra teigiamas. Norėdami sujungti kintamuosius, pridėkite arba atimkite visus kintamuosius x2, x ir konstantos (sveikieji skaičiai), perkelkite jas į kitą lygties pusę, kad kitoje pusėje nieko neliktų. Kai kitoje pusėje nėra kintamųjų, šalia lygybės ženklo parašykite 0. Štai kaip tai padaryti:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3 kartus2 - 11x - 4 = 0
Žingsnis 2. Faktorius šią lygtį
Norėdami apskaičiuoti šią lygtį, turite naudoti koeficientą x2 (3) ir pastovus koeficientas (-4), padauginus juos ir pridedant, kad jie atitiktų kintamąjį viduryje, (-11). Štai kaip tai padaryti:
- 3 kartus2 turi tik vieną galimą veiksnį, tai yra 3x ir x, galite juos įrašyti skliausteliuose: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Tada naudokite pašalinimo procesą, kad apskaičiuotumėte 4, kad surastumėte produktą, gaunantį -11x. Galite naudoti sandaugą iš 4 ir 1, arba 2 ir 2, nes padauginę abu gausite 4. Tačiau atminkite, kad vienas iš skaičių turi būti neigiamas, nes rezultatas yra -4.
- Pabandykite (3x + 1) (x - 4). Jį padauginus gaunamas rezultatas - 3x2 -12x +x -4. Jei sujungsite kintamuosius -12 x ir x, rezultatas bus -11x, tai yra jūsų vidurinė vertė. Jūs tiesiog apskaičiavote kvadratinę lygtį.
- Pavyzdžiui, pabandykime faktorizuoti kitą produktą: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Jei sujungsite kintamuosius, rezultatas bus 3 kartus2 -4x -4. Nors padauginus -2 ir 2, gaunamas -4, vidurkis nėra tas pats, nes norite gauti -11x, o ne -4x vertę.
Žingsnis 3. Tarkime, kad kiekviena skliausteliuose yra nulis skirtingoje lygtyje
Tai leis jums rasti 2 x reikšmes, dėl kurių jūsų lygtis bus lygi nuliui. Jūs atsižvelgėte į savo lygtį, todėl viskas, ką jums reikia padaryti, yra manyti, kad kiekvieno skliaustelio skaičiavimas lygus nuliui. Taigi galite parašyti 3x + 1 = 0 ir x - 4 = 0.
Žingsnis 4. Kiekvieną lygtį išspręskite atskirai
Kvadratinėje lygtyje yra 2 x reikšmės. Kiekvieną lygtį išspręskite atskirai, perkeldami kintamuosius ir užrašydami 2 x atsakymus, kaip nurodyta toliau:
-
Išspręskite 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. atimant
- 3x/3 = -1/3….. dalijant
- x = -1/3….. supaprastinant
-
Išspręskite x - 4 = 0
x = 4….. atimant
- x = (-1/3, 4)….. atskiriant kelis galimus atsakymus, tai reiškia, kad x = -1/3 arba x = 4 abu gali būti teisingi.
5 žingsnis. Patikrinkite x = -1/3 (3x + 1) (x -4) = 0:
Taigi gauname (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. pakeisdami (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. supaprastinant (0) (-4 1/3) = 0….. padauginus Taigi, 0 = 0….. Taip, x = -1/3 yra tiesa.
6 veiksmas. Patikrinkite x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Taigi gauname (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. pakeičiant (13) (4–4)? =? 0….. supaprastinant (13) (0) = 0….. padauginus Taigi, 0 = 0….. Taip, x = 4 taip pat yra tiesa.
Taigi, patikrinus atskirai, abu atsakymai yra teisingi ir gali būti naudojami lygtyse
2 metodas iš 3: kvadratinės formulės naudojimas
Žingsnis 1. Sujunkite visus vienodus kintamuosius ir perkelkite juos į vieną lygties pusę
Perkelkite visus kintamuosius į vieną lygties pusę, nurodydami kintamojo x reikšmę2 teigiamas. Užsirašykite kintamuosius su nuosekliais eksponentais, kad x2 pirmiausia parašyta, po to - kintamieji ir konstantos. Štai kaip tai padaryti:
- 4 kartus2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4 kartus2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3 kartus2 - 5x - 8 = 0
Žingsnis 2. Užrašykite kvadratinę formulę
Kvadratinė formulė yra tokia: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Žingsnis 3. Iš kvadratinės lygties nustatykite a, b ir c reikšmes
Kintamasis a yra koeficientas x2, b yra kintamojo x koeficientas, o c yra konstanta. Dėl 3x lygties2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 ir c = -8. Užsirašykite visus tris.
Žingsnis 4. Pakeiskite a, b ir c reikšmes lygtyje
Kai žinote tris kintamas vertes, prijunkite jas prie tokios lygties:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Žingsnis 5. Atlikite skaičiavimus
Įvedę skaičius, atlikite skaičiavimus, kad supaprastintumėte teigiamą ar neigiamą ženklą, padauginkite arba kvadratuokite likusius kintamuosius. Štai kaip tai padaryti:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Žingsnis 6. Supaprastinkite kvadratinę šaknį
Jei skaičius po kvadratine šaknimi yra tobulas kvadratas, gausite sveiką skaičių. Jei skaičius nėra tobulas kvadratas, supaprastinkite jį iki paprasčiausios šaknies formos. Jei skaičius yra neigiamas ir manote, kad jis turėtų būti neigiamas, pagrindinė vertė bus sudėtinga. Šiame pavyzdyje (121) = 11. Galite parašyti x = (5 +/- 11)/6.
Žingsnis 7. Ieškokite teigiamų ir neigiamų atsakymų
Pašalinus kvadratinės šaknies ženklą, galite rasti teigiamą ir neigiamą x rezultatą. Dabar, kai turite (5 +/- 11)/6, galite parašyti 2 atsakymus:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
8. Užpildykite teigiamus ir neigiamus atsakymus
Atlikite matematinius skaičiavimus:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Žingsnis 9. Supaprastinkite
Norėdami supaprastinti kiekvieną atsakymą, padalinkite iš didžiausio skaičiaus, kuris gali padalinti abu skaičius. Pirmąją trupmeną padalinkite iš 2, o antrąją - iš 6, ir jūs radote x reikšmę.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
3 metodas iš 3: užpildykite kvadratą
Žingsnis 1. Perkelkite visus kintamuosius į vieną lygties pusę
Įsitikinkite, kad a arba kintamasis x2 teigiamas. Štai kaip tai padaryti:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Šioje lygtyje kintamasis a yra 2, kintamasis b yra -12, o kintamasis yra -9
Žingsnis 2. Perkelkite kintamąjį arba konstantą c į kitą pusę
Konstantos yra skaitiniai terminai be kintamųjų. Pereikite į dešinę lygties pusę:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Žingsnis 3. Padalinkite abi puses iš koeficiento a arba kintamojo x2.
Jei x2 neturi kintamojo ir koeficientas yra 1, galite praleisti šį veiksmą. Tokiu atveju visus kintamuosius turite padalyti iš 2, taip:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Žingsnis 4. Padalinkite b iš 2, kvadratą ir pridėkite rezultatą iš abiejų pusių
Šiame pavyzdyje b reikšmė yra -6. Štai kaip tai padaryti:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Žingsnis 5. Supaprastinkite abi puses
Faktorizuokite kintamąjį kairėje pusėje, kad gautumėte (x-3) (x-3) arba (x-3)2. Pridėkite vertes dešinėje, kad gautumėte 9/2 + 9 arba 9/2 + 18/2, tai yra 27/2.
Žingsnis 6. Raskite abiejų pusių kvadratinę šaknį
(X-3) kvadratinė šaknis2 yra (x-3). Kvadratinę šaknį 27/2 galite parašyti kaip ± √ (27/2). Taigi, x - 3 = ± √ (27/2).
Žingsnis 7. Supaprastinkite šaknis ir raskite x reikšmę
Norėdami supaprastinti ± √ (27/2), raskite tobulą kvadratą tarp skaičių 27 ir 2 arba koeficientą tą skaičių. Tobulą 9 kvadratą galima rasti 27, nes 9 x 3 = 27. Norėdami iš kvadratinės šaknies paimti 9, iš šaknies paimkite 9 ir už kvadratinės šaknies užrašykite 3, kvadratinę šaknį. Likusią 3 dalį palikite trupmenos skaitiklyje žemiau kvadratinės šaknies, nes 27 neatitinka visų veiksnių, o žemiau užrašykite 2. Tada perkelkite konstantą 3 kairėje lygties pusėje į dešinę ir parašykite du x sprendimus:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Patarimai
- Kaip matote, šaknų žymės visiškai neišnyks. Taigi skaitiklio kintamųjų negalima sujungti (nes jie nėra lygūs). Nėra prasmės jo skirstyti į teigiamą ar neigiamą. Tačiau mes galime jį padalyti pagal tą patį veiksnį, bet TIK jei abiejų konstantų veiksniai yra vienodi IR šaknies koeficientas.
- Jei skaičius po kvadratine šaknimi nėra tobulas kvadratas, paskutiniai keli žingsniai šiek tiek skiriasi. Štai pavyzdys:
- Jei b yra lyginis skaičius, formulė tampa: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
