3 būdai, kaip išspręsti kubines lygtis

2024 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-16 19:43

Kai pirmą kartą rasite kubinę lygtį (kuri yra kirvio formos ³ + bx ² + cx + d = 0), galbūt manote, kad problemą bus sunku išspręsti. Tačiau žinokite, kad kubinių lygčių sprendimas iš tikrųjų egzistuoja šimtmečius! Šis sprendimas, kurį 1500 -aisiais atrado italų matematikai Niccolò Tartaglia ir Gerolamo Cardano, yra viena iš pirmųjų senovės Graikijoje ir Romoje žinomų formulių. Išspręsti kubines lygtis gali būti šiek tiek sunku, tačiau tinkamai pasirinkus (ir turint pakankamai žinių), galima išspręsti net pačias sunkiausias kubines lygtis.

Žingsnis

1 metodas iš 3: Sprendimas naudojant kvadratines lygtis

Žingsnis 1. Patikrinkite, ar jūsų kubinė lygtis turi konstantą

Kaip minėta aukščiau, kubinės lygties forma yra ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, o d reikšmė gali būti 0, nedarant įtakos šios kubinės lygties formai; tai iš esmės reiškia, kad kubinė lygtis ne visada turi apimti bx reikšmę ², cx arba d, kad būtų kubinė lygtis. Norėdami pradėti naudoti šį gana paprastą kubinių lygčių sprendimo būdą, patikrinkite, ar jūsų kubinė lygtis turi konstantą (arba d reikšmę). Jei jūsų lygtyje nėra konstantos ar d reikšmės, galite naudoti kvadratinę lygtį, kad po kelių žingsnių rastumėte atsakymą į kubinę lygtį.

Kita vertus, jei jūsų lygtis turi pastovią vertę, jums reikės kito sprendimo. Žr. Toliau nurodytus veiksmus, kad gautumėte kitų metodų

Žingsnis 2. Faktoriaus x reikšmė iš kubinės lygties

Kadangi jūsų lygtis neturi pastovios vertės, visi jos komponentai turi kintamąjį x. Tai reiškia, kad šią x reikšmę galima išimti iš lygties, kad ją supaprastintumėte. Atlikite šį veiksmą ir perrašykite kubinę lygtį į formą x (ax ² + bx + c).

Pavyzdžiui, tarkime, kad pradinė kubinė lygtis čia yra 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Iš šios lygties faktorizuojant vieną kintamąjį x, gauname lygtį x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Žingsnis 3. Naudokite kvadratines lygtis, kad išspręstumėte skliausteliuose esančias lygtis

Galite pastebėti, kad kai kurios jūsų naujos lygtys, pateiktos skliausteliuose, yra kvadratinės lygties (ax ² + bx + c). Tai reiškia, kad mes galime rasti vertę, kurios reikia, kad ši lygtis būtų lygi nuliui, prijungę a, b ir c į kvadratinės lygties formulę ({- b +/- √ (b ²- 4 ak)}/2 a). Atlikite šiuos skaičiavimus, kad rastumėte du atsakymus į savo kubinę lygtį.

• Mūsų pavyzdyje prijunkite a, b ir c reikšmes (atitinkamai 3, -2 ir 14) į kvadratinę lygtį taip:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ak.)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• 1 atsakymas:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• 2 atsakymas:

  {2–12,8 i}/6

Žingsnis 4. Naudokite nulius ir savo kvadratinės lygties atsakymą kaip atsakymą į kubinę lygtį

Kvadratinės lygtys turės du atsakymus, o kubinės - tris. Jūs jau žinote du atsakymus iš trijų; kurį gaunate iš skliausteliuose esančios lygties dalies „kvadrato“. Jei jūsų kubinę lygtį galima išspręsti tokiu „faktorizavimu“, jūsų trečiasis atsakymas yra beveik visada 0. Saugu! Jūs ką tik išsprendėte kubinę lygtį.

Šio metodo veikimo priežastis yra esminis faktas, kad „bet koks skaičius, padaugintas iš nulio, lygus nuliui“. Įtraukę savo lygtį į formą x (ax ² + bx + c) = 0, jūs iš esmės tiesiog padalijate jį į dvi „dalis“; viena dalis yra x kintamasis kairėje pusėje, o kita dalis yra kvadratinė lygtis skliausteliuose. Jei viena iš šių dviejų dalių yra lygi nuliui, visa lygtis taip pat bus lygi nuliui. Taigi du atsakymai į skliausteliuose esančią kvadratinę lygtį, dėl kurios ji būtų lygi nuliui, yra atsakymai į kubinę lygtį, taip pat pati 0 - todėl kairėje pusėje esanti dalis taip pat būtų lygi nuliui.

2 metodas iš 3: sveikų skaičių atsakymų paieška naudojant veiksnių sąrašą

Žingsnis 1. Įsitikinkite, kad jūsų kubinė lygtis turi pastovią vertę

Nors aukščiau aprašytus metodus naudoti yra gana paprasta, nes norint juos naudoti nereikia mokytis naujos skaičiavimo technikos, jie ne visada padės išspręsti kubines lygtis. Jei jūsų kubinė lygtis yra kirvio formos ³ + bx ² + cx + d = 0, kur d reikšmė nėra lygi nuliui, aukščiau pateiktas „faktorizacijos“metodas neveikia, todėl norėdami tai išspręsti, turėsite naudoti vieną iš šiame skyriuje pateiktų metodų.

Pavyzdžiui, tarkime, kad turime lygtį 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Šiuo atveju, norėdami gauti nulį dešinėje lygties pusėje, prie abiejų pusių turime pridėti 6. Po to gausime naują lygtį 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, su d = 6 reikšme, todėl negalime naudoti „faktorizacijos“metodo, kaip ir ankstesniame.

Žingsnis 2. Raskite a ir d veiksnius

Norėdami išspręsti kubinę lygtį, pirmiausia suraskite koeficientą a (x koeficientas ³) ir d (pastovi vertė lygties pabaigoje). Atminkite, kad veiksniai yra skaičiai, kuriuos galima padauginti vienas iš kito, kad būtų gautas tam tikras skaičius. Pvz., Kadangi 6 galite gauti daugindami 6 × 1 ir 2 × 3, 1, 2, 3 ir 6 yra 6 veiksniai.

• Mūsų naudojamoje pavyzdinėje užduotyje a = 2 ir d = 6. Koeficientas 2 yra 1 ir 2. Nors koeficientas 6 yra 1, 2, 3 ir 6.

  

  Žingsnis 3. Padalinkite koeficientą a iš koeficiento d

  Toliau išvardykite gautas vertes, padalydami kiekvieną a koeficientą iš kiekvieno d koeficiento. Apskaičiuojant paprastai gaunama daug trupmeninių verčių ir keli sveikieji skaičiai. Sveikasis skaičius, skirtas išspręsti jūsų kubinę lygtį, yra vienas iš sveikųjų skaičių, gautų skaičiuojant.

  Mūsų lygtyje padalinkite faktoriaus reikšmę a (1, 2) iš koeficiento d (1, 2, 3, 6) ir gaukite šiuos rezultatus: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 ir 2/3. Tada pridėkite neigiamų verčių prie sąrašo ir gausime: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 ir -2/3. Atsakymas į kubinę lygtį, kuri yra sveikasis skaičius, yra sąraše.

  

  Žingsnis 4. Naudokite sintetinį padalijimą, kad rankiniu būdu patikrintumėte savo atsakymus

  Turėdami tokių vertybių sąrašą, kaip aukščiau, galite ieškoti sveikųjų skaičių reikšmių, kurios yra atsakymai į jūsų kubinę lygtį, įvesdami kiekvieną sveikąjį skaičių rankiniu būdu ir surasti, kuri vertė grąžina nulį. Tačiau, jei nenorite tam skirti laiko, yra būdas tai padaryti greičiau, būtent naudojant skaičiavimą, vadinamą sintetiniu padalijimu. Iš esmės savo sveikųjų skaičių vertę padalintumėte iš pradinių a, b, c ir d koeficientų kubinėje lygtyje. Jei likusi dalis lygi nuliui, tada ši vertė yra vienas iš jūsų kubinės lygties atsakymų.

  • Sintetinis padalijimas yra sudėtinga tema - daugiau informacijos rasite žemiau esančioje nuorodoje. Štai pavyzdys, kaip rasti vieną iš atsakymų į savo kubinę lygtį su sintetiniu padalijimu:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Kadangi galutinis rezultatas yra lygus 0, mes žinome, kad vienas iš sveikųjų skaičių atsakymų į mūsų kubinę lygtį yra - 1.

  3 metodas iš 3: Diskriminacinio metodo naudojimas

  

  1 žingsnis. Užsirašykite a, b, c ir d lygtis

  Norėdami rasti atsakymą į kubinę lygtį tokiu būdu, atliksime daug skaičiavimų su mūsų lygties koeficientais. Dėl šios priežasties prieš užmirštant bet kurią vertę verta užsirašyti a, b, c ir d reikšmes.

  Pavyzdžiui, lygčiai x ³ - 3 kartus ² + 3 x -1, užrašykite jį kaip a = 1, b = -3, c = 3 ir d = -1. Nepamirškite, kad kai kintamasis x neturi koeficiento, jo vertė yra 1.

  

  2 žingsnis. Apskaičiuokite 0 = b ² - 3 oro kondicionieriai.

  Diskriminacinis požiūris ieškant atsakymų į kubines lygtis reikalauja sudėtingų skaičiavimų, tačiau jei atidžiai atliksite veiksmus, tai gali būti labai naudinga sprendžiant kubines lygtis, kurias sunku išspręsti kitais būdais. Pirmiausia suraskite 0 reikšmę, kuri yra pirmoji reikšminga reikšmė iš kelių mums reikalingų, įterpdami atitinkamą reikšmę į formulę b ² - 3 oro kondicionieriai.

  • Pavyzdyje, kurį naudojame, išspręsime taip:

    b ² - 3 ak

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Žingsnis 3. Apskaičiuokite 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Kita reikšminga reikšmė - 1, reikalauja ilgesnio skaičiavimo, tačiau ją galima rasti taip pat, kaip 0. Prijunkite atitinkamą vertę į formulę 2b ³ - 9 abc + 27 a ² d, kad gautumėte 1 reikšmę.

  • Šiame pavyzdyje mes tai išsprendžiame taip:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Žingsnis 4. Apskaičiuokite = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Toliau apskaičiuojame 0 ir 1 reikšmių „diskriminuojančią“vertę. Diskriminantas yra skaičius, suteikiantis jums informacijos apie daugianario šaknį (galbūt nesąmoningai įsimenate kvadratinę diskriminacijos formulę: b ² - 4 oro kondicionieriai). Kubinės lygties atveju, jei diskriminanto vertė yra teigiama, tada lygtis turi tris realaus skaičiaus atsakymus. Jei diskriminacinė vertė lygi nuliui, tada lygtis turi vieną ar du realaus skaičiaus atsakymus, o kai kurie atsakymai turi tą pačią reikšmę. Jei reikšmė yra neigiama, lygtis turi tik vieną realaus skaičiaus atsakymą, nes lygties grafikas visada bent kartą susikers x ašį.)

  • Šiame pavyzdyje, nes ir 0, ir 1 = 0, rasti reikšmę yra labai paprasta. Mums tiesiog reikia jį apskaičiuoti taip:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, taigi mūsų lygtyje yra 1 arba 2 atsakymai.

  

  Žingsnis 5. Apskaičiuokite C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Paskutinė reikšmė, kurią mums svarbu gauti, yra C vertė. Ši vertė leidžia mums gauti visas tris mūsų kubinės lygties šaknis. Išspręskite, kaip įprasta, į formulę įtraukdami 1 ir 0 reikšmes.

  • Šiame pavyzdyje C reikšmę gausime taip:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C.

  

  Žingsnis 6. Apskaičiuokite tris lygties šaknis naudodami savo kintamąjį

  Jūsų kubinės lygties šaknis (atsakymas) nustatoma pagal formulę (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, kur u = (-1 + (-3))/2 ir n yra lygus 1, 2 arba 3. Įveskite savo reikšmes į formulę, kad jas išspręstumėte-gali tekti atlikti nemažai skaičiavimų, bet jūs turėtumėte gauti visus tris savo kubinės lygties atsakymus!

  • Šiame pavyzdyje mes galime tai išspręsti patikrindami atsakymus, kai n yra 1, 2 ir 3. Iš šio skaičiavimo gaunamas atsakymas yra galimas atsakymas į mūsų kubinę lygtį - bet kokią vertę, kurią įjungiame į kubinę lygtį ir tas pats rezultatas. su 0 yra teisingas atsakymas. Pvz., Jei viename iš mūsų skaičiavimo eksperimentų gauname lygų 1, įvesdami reikšmę 1 į lygtį x ³ - 3 kartus ² + 3 x - 1 gaunamas galutinis rezultatas lygus 0. Taigi

    1 žingsnis. yra vienas iš atsakymų į mūsų kubinę lygtį.