Kaip piešti kvadratinę diagramą: 10 žingsnių (su paveikslėliais)

2024 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-02-01 14:14

Grafiškai pavaizduota kvadratinė lygtis yra tokios formos kirvis² + bx + c arba a (x - h)² + k suformuokite raidę U arba apverstą U kreivę, vadinamą parabola. Grafikuodami kvadratinę lygtį ieškoma viršūnės, krypties ir dažnai x ir y sankirtos. Gana paprastų kvadratinių lygčių atveju gali pakakti įvesti x reikšmių rinkinį ir nubraižyti kreivę pagal gautus taškus. Norėdami pradėti, žiūrėkite 1 veiksmą.

Žingsnis

Žingsnis 1. Nustatykite turimos kvadratinės lygties formą

Kvadratinės lygtys gali būti parašytos trimis skirtingomis formomis: bendra forma, viršūnių forma ir kvadratinė forma. Kvadratinei lygčiai grafikuoti galite naudoti bet kokią formą; kiekvieno grafiko vaizdavimo procesas šiek tiek skiriasi. Jei atliekate namų darbus, dažniausiai gausite klausimus viena iš šių dviejų formų - kitaip tariant, negalėsite pasirinkti, todėl geriausia suprasti abi. Dvi kvadratinės lygties formos yra šios:

• Bendra forma.

  Šioje formoje kvadratinė lygtis užrašoma taip: f (x) = ax² + bx + c, kur a, b ir c yra realūs skaičiai, o a nėra nulis.

  Pavyzdžiui, dvi bendrosios formos kvadratinės lygtys yra f (x) = x² + 2x + 1 ir f (x) = 9x² + 10x -8.

• Piko forma.

  Šioje formoje kvadratinė lygtis užrašoma taip: f (x) = a (x - h)² + k kur a, h ir k yra realūs skaičiai, o a nėra nulis. Ji vadinama viršūnės forma, nes h ir k iš karto suteiks jūsų parabolės viršūnę (vidurio tašką) taške (h, k).

  Dvi viršūnių formos lygtys yra f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ir -3 (x - 5)² + 1

• Norėdami nubraižyti bet kokio tipo lygtis, pirmiausia turime rasti parabolės viršūnę, kuri yra vidurio taškas (h, k) kreivės pabaigoje. Bendrosios formos smailių koordinatės apskaičiuojamos taip: h = -b/2a ir k = f (h), o smailės formoje h ir k yra lygtyje.

Žingsnis 2. Apibrėžkite savo kintamuosius

Norint išspręsti kvadratinę problemą, paprastai reikia apibrėžti kintamuosius a, b ir c (arba a, h ir k). Įprasta algebros užduotis suteiks kvadratinę lygtį su turimais kintamaisiais, paprastai bendra forma, bet kartais piko forma.

• Pavyzdžiui, bendrosios formos lygčiai f (x) = 2x² + 16x + 39, turime a = 2, b = 16 ir c = 39.
• Piko formos lygčiai f (x) = 4 (x - 5)² + 12, turime a = 4, h = 5 ir k = 12.

Žingsnis 3. Apskaičiuokite h

Viršūnės formos lygtyje jūsų h reikšmė jau pateikta, tačiau bendrosios formos lygtyje h vertė turi būti apskaičiuota. Atminkite, kad bendrosios formos lygtims h = -b/2a.

• Mūsų bendrosios formos pavyzdys (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Išsprendę randame, kad h = - 4.
• Mūsų viršūnės formos pavyzdyje (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), mes žinome, kad h = 5 neatliekant jokios matematikos.

Žingsnis 4. Apskaičiuokite k

Kaip ir h, k jau žinoma piko formos lygtyje. Bendros formos lygtims atminkite, kad k = f (h). Kitaip tariant, galite rasti k, pakeisdami visas lygties x reikšmes ką tik rastomis h reikšmėmis.

• Savo bendrosios formos pavyzdyje jau nustatėme, kad h = -4. Norėdami rasti k, mes išsprendžiame savo lygtį, vietoj x pridėdami h reikšmę:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32–64 + 39 =

    7 žingsnis.

• Piko formos pavyzdyje vėl žinome k reikšmę (kuri yra 12), nereikia atlikti jokių matematinių veiksmų.

Žingsnis 5. Nubrėžkite smailę

Jūsų parabolės viršūnė yra taškas (h, k)-h reiškia x koordinatę, o k-y koordinatę. Viršūnė yra jūsų parabolės vidurio taškas - U apačioje arba apverstos U viršuje. Žinoti viršūnes yra svarbi tikslios parabolės piešimo dalis - dažnai mokykliniuose darbuose viršūnės nustatymas yra ta dalis, kurios reikia ieškoti klausime.

• Mūsų bendrosios formos pavyzdyje mūsų smailė yra (-4, 7). Taigi mūsų parabolė baigsis 4 žingsniais į kairę nuo 0 ir 7 žingsnių aukščiau (0, 0). Turime pavaizduoti šį tašką savo grafike, būtinai pažymėdami koordinates.
• Mūsų viršūnės formos pavyzdyje mūsų viršūnė yra (5, 12). Turime nubrėžti tašką 5 žingsniai į dešinę ir 12 žingsnių aukščiau (0, 0).

Žingsnis 6. Nubrėžkite parabolės ašį (neprivaloma)

Parabolės simetrijos ašis yra linija, einanti per jos centrą, dalijant ją tiksliai viduryje. Šioje ašyje kairioji parabolės pusė atspindės dešinę pusę. Kvadratinėms lygtims kirvio pavidalu² + bx + c arba a (x - h)² + k, simetrijos ašis yra linija, lygiagreti y ašiai (kitaip tariant, tiksliai vertikali) ir einanti per viršūnę.

Mūsų bendrosios formos pavyzdyje ašis yra tiesė, lygiagreti y ašiai ir einanti per tašką (-4, 7). Nors tai nėra parabolės dalis, plonas šios linijos žymėjimas grafike galiausiai padės pamatyti simetrišką parabolės kreivės formą

Žingsnis 7. Raskite parabolės atidarymo kryptį

Žinodami parabolės smailę ir ašį, toliau turime žinoti, ar parabolė atsidaro, ar nusileidžia. Laimei, tai lengva. Jei a reikšmė yra teigiama, parabolė atsidarys aukštyn, o jei neigiama, parabolė atsidarys žemyn (t. Y. Parabolė bus apversta).

• Mūsų bendrosios formos pavyzdys (f (x) = 2x² + 16x + 39), mes žinome, kad turime parabolę, kuri atsiveria, nes mūsų lygtyje a = 2 (teigiamas).
• Mūsų viršūnių formos pavyzdys (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), mes žinome, kad turime ir parabolę, kuri atsiveria, nes a = 4 (teigiamas).

Žingsnis 8. Jei reikia, suraskite ir nubrėžkite x pjūvį

Dažnai mokykliniuose darbuose jūsų bus paprašyta surasti parabolės x pjūvį (tai yra vienas ar du taškai, kur parabolė atitinka x ašį). Net jei nerandate, šie du punktai yra labai svarbūs norint nubrėžti tikslią parabolę. Tačiau ne visos parabolės turi x pjūvį. Jei jūsų parabolės viršūnė atsiveria ir jos viršūnė yra virš x ašies arba jei ji atsidaro žemyn, o viršūnė yra žemiau x ašies, parabolė neturės x-pjūvio. Priešingu atveju išspręskite x perėmimą vienu iš šių būdų:

• Tiesiog padarykite f (x) = 0 ir išspręskite lygtį. Šis metodas gali būti naudojamas paprastoms kvadratinėms lygtims, ypač piko pavidalu, tačiau sudėtingoms lygtims bus labai sunku. Žemiau rasite pavyzdį

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Šaknis (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ir 13 yra parabolės x pjūvis.

• Faktorizuokite savo lygtį. Kai kurios lygtys kirvio formoje² + bx + c galima lengvai įtraukti į formą (dx + e) (fx + g), kur dx × fx = kirvis², (dx × g + fx × e) = bx ir e × g = c. Tokiu atveju jūsų x-perėmimai yra x reikšmės, kurios bet kokį terminą skliausteliuose sudarys = 0. Pavyzdžiui:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Šiuo atveju vienintelis jūsų perimtas x yra -1, nes padarius x lygų -1, bet koks skliausteliuose esantis veiksnys bus lygus 0.

• Naudokite kvadratinę formulę. Jei negalite lengvai išspręsti x perpjovos ar koeficiento, naudokite specialią lygtį, vadinamą kvadratine formule, kuri buvo sukurta šiam tikslui. Jei tai dar neišspręsta, konvertuokite lygtį į formą ax² + bx + c, tada įveskite a, b ir c į formulę x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Atminkite, kad šis metodas dažnai duoda du atsakymus į x reikšmę, o tai yra gerai-tai tik reiškia, kad jūsų parabolėje yra du x-perėmimai. Žemiau rasite pavyzdį:

  • -5 kartus² + 1x + 10 įvedama į kvadratinę formulę taip:
  • x = (-1 +/- šaknis (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- šaknis (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- šaknis (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) ir (-15, 18/-10). Parabolės x pjūvis yra x = - 1, 318 ir 1, 518
  • Mūsų ankstesnis bendrosios formos pavyzdys, 2x² +16x+39 į kvadratinę formulę įtraukiama taip:
  • x = (-16 +/- šaknis (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- šaknis (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- šaknis (-56)/-10
  • Kadangi neįmanoma rasti neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies, žinome, kad ši parabolė neturi x-perėmimo.

Žingsnis 9. Jei reikia, suraskite ir nubrėžkite y pjūvį

Nors dažnai nebūtina ieškoti y-pjūvio lygtyse (taškas, kuriame parabolė praeina per y ašį), galų gale gali tekti jį rasti, ypač jei esate mokykloje. Procesas yra gana paprastas-tiesiog padarykite x = 0, tada išspręskite f (x) arba y lygtį, kuri nurodo y reikšmę ten, kur jūsų parabolė eina per y ašį. Skirtingai nuo x pjūvio, įprasta parabolė gali turėti tik vieną y pjūvį. Pastaba-bendrosios formos lygtims y pjūvis yra y = c.

• Pavyzdžiui, mes žinome, kad mūsų kvadratinė lygtis yra 2x² + 16x + 39 turi y pjūvį y = 39, tačiau jį taip pat galima rasti taip:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabolės y pjūvis yra ties y = 39.

    Kaip minėta aukščiau, y pjūvis yra y = c.

• Mūsų viršūnių lygties forma yra 4 (x - 5)² + 12 turi y perėmimą, kurį galima rasti taip:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolės y pjūvis yra ties y = 112.

10. Jei reikia, nubrėžkite papildomų taškų, tada nubrėžkite grafiką

Dabar jūsų lygtyje yra viršūnė, kryptis, x-perėmimas ir galbūt y-pjūvis. Šiame etape galite pabandyti piešti savo parabolę naudodami taškus, kuriuos turite kaip vadovą, arba ieškoti kitų taškų, kad užpildytumėte savo parabolę, kad jūsų nubrėžta kreivė būtų tikslesnė. Lengviausias būdas tai padaryti yra tiesiog įvesti kai kurias x reikšmes bet kurioje viršūnės pusėje, tada nubraižyti šiuos taškus naudojant gautas y reikšmes. Dažnai mokytojai prašo prieš piešdami parabolę ieškoti kelių taškų.

• Pažvelkime į lygtį x² + 2x + 1. Mes jau žinome, kad x pjūvis yra tik ties x = -1. Kadangi kreivė paliečia x pjūvį tik viename taške, galime daryti išvadą, kad viršūnė yra jos x pjūvis, o tai reiškia, kad viršūnė yra (-1, 0). Mes iš tikrųjų turime tik vieną tašką šiai parabolei - to nepakanka, kad nupieštume gerą parabolę. Ieškokime kitų punktų, kad būtume nubrėžę išsamų grafiką.

  • Raskime šių x reikšmių y reikšmes: 0, 1, -2 ir -3.
  • 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Mūsų taškas yra (0, 1).

  • 1 atveju: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Mūsų mintis yra (1, 4).

  • -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Mūsų taškas yra (-2, 1).

  • -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Mūsų mintis yra (-3, 4).

  • Nubrėžkite šiuos taškus diagramoje ir nubrėžkite U formos kreivę. Atminkite, kad parabolė yra visiškai simetriška - kai jūsų taškai vienoje parabolės pusėje yra sveikieji skaičiai, paprastai galite sumažinti darbą, tiesiog atspindėdami tam tikrą tašką parabolės simetrijos ašyje, kad rastumėte tą patį tašką kitoje parabolės pusėje.

Patarimai

• Apvalinkite skaičius arba naudokite trupmenas pagal savo algebros mokytojo prašymą. Tai padės geriau nubrėžti kvadratinę lygtį.
• Atkreipkite dėmesį, kad f (x) = ašis² + bx + c, jei b arba c yra lygus nuliui, šie skaičiai išnyks. Pavyzdžiui, 12 kartų² + 0x + 6 tampa 12x² + 6, nes 0x yra 0.