Dvi trupmenos yra lygiavertės, jei jų vertė yra ta pati. Žinoti, kaip trupmenas paversti lygiavertėmis formomis, yra nepaprastai svarbus matematikos įgūdis, reikalingas visoms matematikos formoms nuo pagrindinės algebros iki išplėstinio skaičiavimo. Šiame straipsnyje bus pateikti keli būdai, kaip apskaičiuoti lygiavertes trupmenas nuo pagrindinio daugybos ir padalijimo iki sudėtingesnių lygiaverčių trupinių lygčių sprendimo būdų.
Žingsnis
1 metodas iš 5: ekvivalentinių frakcijų išdėstymas
1 žingsnis. Skaičiuoklę ir vardiklį padauginkite iš to paties skaičiaus
Dvi skirtingos, bet lygiavertės trupmenos pagal apibrėžimą turi skaitiklį ir vardiklį, kurie yra vienas kito kartotiniai. Kitaip tariant, padauginus trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus, gaunamos lygiavertės trupmenos. Nors skaičiai naujoje trupmenoje bus skirtingi, trupmenos turės tą pačią reikšmę.
- Pavyzdžiui, jei paimame trupmeną 4/8 ir padauginame skaitiklį ir vardiklį iš 2, gauname (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Šios dvi trupmenos yra lygiavertės.
- (4 × 2)/(8 × 2) iš tikrųjų yra tas pats, kas 4/8 × 2/2. Atminkite, kad daugindami dvi trupmenas, mes dauginame tiesiai, o tai reiškia skaitiklį iš skaitiklio ir vardiklį iš vardiklio.
- Atminkite, kad 2/2 lygus 1, jei padalysite. Taigi lengviau suprasti, kodėl 4/8 ir 8/16 yra lygiaverčiai, nes padauginus 4/8 × (2/2) = lieka 4/8. Lygiai taip pat tas pats, kas sakyti 4/8 = 8/16.
- Bet kuri trupmena turi begalinį lygiaverčių trupmenų skaičių. Skaičiuoklę ir vardiklį galite padauginti iš bet kurio sveiko skaičiaus, nepriklausomai nuo dydžio ar mažo, kad gautumėte lygiavertę trupmeną.
2 žingsnis. Skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš to paties skaičiaus
Kaip ir daugyba, padalijimas taip pat gali būti naudojamas norint rasti naują trupmeną, lygiavertę pradinei daliai. Tiesiog padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus, kad gautumėte lygiavertę trupmeną. Yra vienas šio proceso trūkumas - kad galutinė trupmena turėtų turėti sveikuosius skaičius tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje, kad būtų teisinga.
Pavyzdžiui, pažvelkime atgal į 4/8. Jei užuot padauginę, ir skaitiklį, ir vardiklį padalijame iš 2, gauname (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 ir 4 yra sveikieji skaičiai, todėl šios lygiavertės trupmenos yra teisingos
2 metodas iš 5: pagrindinio daugybos naudojimas lygybei nustatyti
Žingsnis 1. Raskite skaičių, kuris turi būti padaugintas iš mažesnio vardiklio, kad gautumėte didesnį vardiklį
Daugelis problemų, susijusių su trupmenomis, apima nustatymą, ar dvi trupmenos yra lygiavertės. Apskaičiavę šį skaičių, galite pradėti lyginti trupmenines sąlygas, kad nustatytumėte lygybę.
- Pavyzdžiui, pakartotinai naudokite 4/8 ir 8/16 trupmenas. Mažesnis vardiklis yra 8, o mes turime padauginti skaičių iš 2, kad gautume didesnį vardiklį, kuris yra 16. Taigi skaičius šiuo atveju yra 2.
- Norėdami gauti sudėtingesnius skaičius, galite padalinti didesnį vardiklį iš mažesnio vardiklio. Šiuo atveju 16 yra padalintas iš 8, o tai vis tiek duoda 2.
- Skaičius ne visada yra sveikasis skaičius. Pavyzdžiui, jei vardikliai yra 2 ir 7, tai skaičius yra 3, 5.
Žingsnis 2. Padauginkite trupmenos, turinčios mažesnį terminą, skaitiklį ir vardiklį iš pirmo žingsnio skaičiaus
Dvi skirtingos, bet lygiavertės trupmenos pagal apibrėžimą turi skaitiklis ir vardiklis, kurie yra vienas kito kartotiniai. Kitaip tariant, padauginus trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus, gaunama lygiavertė trupmena. Nors šios naujos frakcijos skaičiai bus skirtingi, šių dalių reikšmė bus ta pati.
Pavyzdžiui, jei mes naudojame trupmeną 4/8 nuo pirmojo žingsnio ir padauginame skaitiklį ir vardiklį iš anksčiau apibrėžto skaičiaus, kuris yra 2, gauname (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Šis rezultatas įrodo, kad šios dvi trupmenos yra lygiavertės.
3 metodas iš 5: pagrindinio padalijimo naudojimas lygybei nustatyti
Žingsnis 1. Kiekvieną trupmeną suskaičiuokite kaip dešimtainį skaičių
Paprastoms trupmenoms be kintamųjų galite nustatyti kiekvieną trupmeną kaip dešimtainį skaičių, kad nustatytumėte lygybę. Kadangi kiekviena trupmena iš tikrųjų yra padalijimo problema, tai yra paprasčiausias būdas nustatyti lygybę.
- Pavyzdžiui, naudokite trupmeną, kurią naudojome anksčiau, 4/8. Frakcija 4/8 prilygsta sakymui 4, padalytam iš 8, o tai yra 4/8 = 0,5. Taip pat galite išspręsti kitą pavyzdį, kuris yra 8/16 = 0,5. Nesvarbu, kokios sąlygos yra trupmenoje, trupmena yra lygiavertė jei abu skaičiai yra vienodi, kai jie pateikiami dešimtainiu skaičiumi.
- Atminkite, kad dešimtainės išraiškos gali turėti kelis skaitmenis, kol lygybė nėra akivaizdi. Kaip pagrindinis pavyzdys, 1/3 = 0,333 kartojasi, o 3/10 = 0,3. Naudodami daugiau nei vieną skaitmenį matome, kad šios dvi trupmenos nėra lygiavertės.
2 žingsnis. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus, kad gautumėte lygiavertę trupmeną
Sudėtingesnėms trupmenoms dalijimo metodas reikalauja papildomų veiksmų. Kai dauginate, trupmenos skaitiklį ir vardiklį galite padalyti iš to paties skaičiaus, kad gautumėte lygiavertę trupmeną. Yra vienas šio proceso trūkumas. Galutinė trupmena turi turėti sveikuosius skaičius skaitiklyje ir vardiklyje, kad būtų teisinga.
Pavyzdžiui, pažvelkime atgal į 4/8. Jei, užuot padauginę, daliklį ir vardiklį padalijame iš 2, gauname (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 ir 4 yra sveikieji skaičiai, todėl šios lygiavertės trupmenos yra teisingos.
Žingsnis 3. Supaprastinkite trupmenas pagal jų paprasčiausius terminus
Dauguma trupmenų paprastai rašomi paprasčiausiais terminais, o trupmenas galite paversti paprasčiausiomis formomis, padalydami jas iš didžiausio bendro koeficiento (GCF). Šis veiksmas atliekamas ta pačia logika, kaip ir lygiaverčių trupmenų rašymas, konvertuojant jas į tą patį vardiklį, tačiau šis metodas bando supaprastinti kiekvieną trupmeną iki mažiausios įmanomos sąlygos.
- Kai trupmena yra paprasčiausios formos, skaitiklis ir vardiklis turi mažiausius įmanomus dydžius. Abiejų negalima padalinti iš sveiko skaičiaus, kad gautumėte mažesnę vertę. Norėdami trupmeną, kuri nėra paprasčiausioje formoje, paversti paprasčiausia lygiaverte forma, mes dalijame skaitiklį ir vardiklį iš jų didžiausio bendro veiksnio.
-
Didžiausias bendras skaitiklio ir vardiklio veiksnys (GCF) yra didžiausias skaičius, kuris juos padalija, kad gautų sveiką skaičių. Taigi, mūsų 4/8 pavyzdyje, nes
4 žingsnis. yra didžiausias skaičius, kuris dalijasi iš 4 ir 8, mes padalinsime savo trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 4, kad gautume paprasčiausius terminus. (4 4)/(8 4) = 1/2. Kitame mūsų pavyzdyje 8/16 GCF yra 8, kuris taip pat grąžina vertę 1/2 kaip paprasčiausią trupmenos išraišką.
4 metodas iš 5: Kryžminių produktų naudojimas kintamiesiems rasti
Žingsnis 1. Išdėstykite dvi trupmenas taip, kad jos būtų lygios viena kitai
Mes naudojame kryžminį daugybą matematikos uždaviniams, kai žinome, kad trupmenos yra lygiavertės, tačiau vieną iš skaičių pakeitė kintamasis (dažniausiai x), kurį turime išspręsti. Tokiais atvejais mes žinome, kad šios trupmenos yra lygiavertės, nes jos yra vieninteliai terminai kitoje lygybės ženklo pusėje, tačiau dažnai būdas rasti kintamąjį nėra akivaizdus. Laimei, naudojant kryžminį daugybą, šių tipų problemas lengva išspręsti.
Žingsnis 2. Paimkite dvi lygiavertes trupmenas ir padauginkite jas iš „X“formos
Kitaip tariant, jūs padauginate vienos trupmenos skaitiklį iš kitos trupmenos vardiklio ir atvirkščiai, tada sutvarkykite du atsakymus, kad jie atitiktų vienas kitą, ir išspręskite.
Paimkite du mūsų pavyzdžius - 4/8 ir 8/16. Nė vienas iš jų neturi kintamojo, tačiau mes galime įrodyti koncepciją, nes jau žinome, kad jie yra lygiaverčiai. Kryžminį dauginimą gauname 4/16 = 8 x 8 arba 64 = 64, o tai tiesa. Jei šie du skaičiai nėra lygūs, tada trupmenos nėra lygiavertės
Žingsnis 3. Pridėkite kintamųjų
Kadangi kryžminis daugyba yra lengviausias būdas nustatyti lygiavertes trupmenas, kai turite rasti kintamųjų, pridėkime kintamuosius.
-
Pavyzdžiui, naudokime lygtį 2/x = 10/13. Norėdami dauginti, dauginame 2 iš 13 ir 10 iš x, tada nustatome savo atsakymus lygius vienas kitam:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10 kartų
- 10x = 26. Iš čia rasti atsakymą į mūsų kintamąjį yra paprasta algebros problema. x = 26/10 = 2, 6, darant pradinę ekvivalentinę trupmeną 2/2, 6 = 10/13.
Žingsnis 4. Kryžminį daugybą naudokite kelių kintamųjų trupmenoms ar kintamosioms išraiškoms
Vienas iš geriausių kryžminio daugybos dalykų yra tas, kad jis iš tikrųjų veikia taip pat, nesvarbu, ar dirbate su dviem paprastomis trupmenomis (kaip nurodyta aukščiau), ar su sudėtingesnėmis trupmenomis. Pvz., Jei abi frakcijos turi kintamųjų, jums reikia tik pašalinti šiuos kintamuosius sprendžiant. Panašiai, jei jūsų trupmenos skaitiklis arba vardiklis turi kintamąją išraišką (pvz., X + 1), tiesiog „padauginkite“ją naudodami skirstomąją savybę ir išspręskite kaip įprasta.
-
Pavyzdžiui, naudokime lygtį ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Šiuo atveju, kaip aprašyta aukščiau, išspręsime jį pagal kelis produktus:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, tada mes galime supaprastinti trupmeną, atimdami 2x iš abiejų pusių
- 2 = 2x + 12, tada mes atskiriame kintamąjį, atimdami 12 iš abiejų pusių
- -10 = 2x ir padalinkite iš 2, kad rastumėte x
- - 5 = x
5 metodas iš 5: Kvadratinių formulių naudojimas kintamiesiems rasti
Žingsnis 1. Kryžkite dvi trupmenas
Lygybės problemoms, kurioms reikalinga kvadratinė formulė, vis tiek pradedame nuo kryžminio produkto. Tačiau bet koks kryžminis produktas, apimantis kintamojo terminų dauginimą iš kito kintamojo sąlygų, greičiausiai sukels išraišką, kurios negalima lengvai išspręsti naudojant algebrą. Tokiais atvejais gali tekti naudoti tokius metodus kaip faktoringas ir (arba) kvadratinės formulės.
-
Pavyzdžiui, pažvelkime į lygtį ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Pirma, dauginkime:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Žingsnis 2. Parašykite lygtį kaip kvadratinę lygtį
Šiame skyriuje norime parašyti šią lygtį kvadratine forma (kirvis2 + bx + c = 0), tai darome nustačius lygtį lygią nuliui. Šiuo atveju iš abiejų pusių atimame 12, kad gautume 2x2 - 14 = 0.
Kai kurios vertės gali būti lygios 0. Nors 2x2 - 14 = 0 yra paprasčiausia mūsų lygties forma, tikroji kvadratinė lygtis yra 2x2 + 0x + (-14) = 0. Iš pradžių gali būti naudinga užrašyti kvadratinės lygties formą, net jei kai kurios vertės yra lygios 0.
Žingsnis 3. Išspręskite prijungdami skaičius iš kvadratinės lygties į kvadratinę formulę
Kvadratinė formulė (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) padės mums rasti x reikšmę šiame skyriuje. Nebijokite formulės ilgio. Antrame žingsnyje tiesiog paimkite vertes iš kvadratinės lygties ir padėkite jas į reikiamas vietas prieš jas išspręsdami.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. Mūsų lygtyje 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 ir c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Žingsnis 4. Patikrinkite savo atsakymą dar kartą įvesdami x reikšmę į kvadratinę lygtį
Įtraukę apskaičiuotą x reikšmę atgal į kvadratinę lygtį nuo antrojo žingsnio, galite lengvai nustatyti, ar teisingai atsakėte. Šiame pavyzdyje 2, 64 ir -2, 64 prijungsite prie pradinės kvadratinės lygties.
Patarimai
- Frakcijos konvertavimas į ekvivalentą iš tikrųjų yra trupmenos padauginimo iš 1 forma. Konvertuojant 1/2 į 2/4, skaitiklį ir vardiklį padauginus iš 2 yra tas pats, kas padauginti 1/2 iš 2/2, kuris yra lygus 1.
-
Jei norite, konvertuokite mišrų skaičių į bendrą trupmeną, kad būtų lengviau konvertuoti. Žinoma, ne visos trupmenos, su kuriomis susiduriate, nebus tokios lengvos, kaip konvertuoti aukščiau pateiktą 4/8 pavyzdį. Pavyzdžiui, sumaišyti skaičiai (pvz., 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 ir tt) gali šiek tiek apsunkinti konversijos procesą. Jei turite konvertuoti mišrų skaičių į bendrą trupmeną, tai galite padaryti dviem būdais: konvertuodami mišrų skaičių į bendrą trupmeną, tada konvertuodami kaip įprasta, arba išlaikant mišrių skaičių formą ir gaunant atsakymus mišrių skaičių pavidalu.
- Norėdami konvertuoti į bendrą trupmeną, padauginkite iš mišraus skaičiaus sveiką komponentą iš trupmenos komponento vardiklio ir pridėkite prie skaitiklio. Pavyzdžiui, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Tada, jei norite, galite jį pakeisti, jei reikia. Pavyzdžiui, 5/3 × 2/2 = 10/6, kuris išlieka lygus 1 2/3.
- Tačiau mums nereikia jo paversti įprasta dalimi, kaip nurodyta aukščiau. Priešingu atveju paliekame sveiką komponentą ramybėje, keičiame tik trupmeninį komponentą ir sveiką skaičių dedame nepakitę. Pavyzdžiui, 3 4/16 matome tik 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Taigi, pridėję sveikųjų skaičių komponentus, gauname naują mišrų skaičių, 3 1/4.
Įspėjimas
- Daugyba ir padalijimas gali būti naudojami lygiavertėms trupmenoms gauti, nes dauginimas ir dalijimas su skaičiaus 1 trupmenine forma (2/2, 3/3 ir tt) suteikia atsakymą, kuris pagal apibrėžimą yra lygiavertis pradinei daliai. Negalima naudoti pridėjimo ir atėmimo.
-
Nors daugindami trupmenas dauginate skaitiklius ir vardiklius, sudėdami ar atimdami trupmenas, vardiklių nepridėsite ir neatimsite.
Pavyzdžiui, aukščiau mes žinome, kad 4/8 4/4 = 1/2. Jei sudedame 4/4, gauname visiškai kitokį atsakymą. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 arba 3/2, jie nėra lygūs 4/8.
