3 būdai, kaip apskaičiuoti momentinį greitį

2024 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-15 08:19

Greitis apibrėžiamas kaip objekto greitis tam tikra kryptimi. Daugeliu atvejų, norėdami rasti greitį, galime naudoti lygtį v = s/t, kur v yra greitis, s lygus visam objekto atstumui nuo pradinės padėties ir t lygus laikui. Tačiau šis metodas pateikia tik „vidutinę“objekto greičio vertę per jo poslinkį. Naudodami skaičiavimą, galite apskaičiuoti objekto greitį bet kuriame jo poslinkio taške. Ši vertė vadinama „momentiniu greičiu“ir gali būti apskaičiuota pagal lygtį v = (ds)/(dt), arba, kitaip tariant, yra vidutinės objekto greičio lygties išvestinė.

Žingsnis

1 iš 3 metodas: momentinio greičio apskaičiavimas

Žingsnis 1. Pradėkite nuo objekto poslinkio greičio lygties

Norėdami gauti momentinio objekto greičio vertę, pirmiausia turime turėti lygtį, apibūdinančią jo padėtį (pagal poslinkį) tam tikru momentu. Tai reiškia, kad lygtis turi turėti kintamąjį s (kuris stovi vienas) vienoje pusėje, ir t kita vertus (bet nebūtinai savarankiškai), pavyzdžiui:

s = -1,5 t²+10 t+4

• Lygybėje kintamieji yra šie:

  Poslinkis = s. Tai yra atstumas, kurį objektas nuvažiavo nuo jo pradžios taško. Pavyzdžiui, jei objektas keliauja 10 metrų į priekį ir 7 metrus atgal, tada bendras nuvažiuotas atstumas yra 10 - 7 = 3 metrai (ne 10 + 7 = 17 metrų).

  Laikas = t. Šis kintamasis savaime suprantamas. Paprastai išreiškiama sekundėmis. # Paimkite lygties išvestinę. Lygties išvestinė yra dar viena lygtis, kuri gali suteikti nuolydžio vertę iš tam tikro taško. Norėdami rasti objekto poslinkio formulės išvestinę, išveskite funkciją pagal šią bendrą taisyklę: Jei y = a*x , Išvestinė = a*n*x^n-1. Ši taisyklė taikoma bet kuriam komponentui, esančiam lygties „t“pusėje.

  

• Kitaip tariant, pradėkite mažindami lygties „t“pusę iš kairės į dešinę. Kiekvieną kartą, kai pasieksite „t“reikšmę, iš eksponento vertės atimkite 1 ir padauginkite visą iš pradinio rodiklio. Bet kokios konstantos (kintamieji, kuriuose nėra „t“) bus prarastos, nes jos padaugintos iš 0. Šis procesas nėra toks sunkus, kaip būtų galima pagalvoti, kaip pavyzdį išveskime aukščiau pateikto veiksmo lygtį:

s = -1,5 t²+10 t+4

(2) -1,5 t^(2-1)+ (1) 10 t^{1 - 1} + (0) 4 t⁰

-3 t¹ + 10t⁰

- 3 t + 10

Žingsnis 2. Pakeiskite kintamąjį „s“į „ds/dt

"Norėdami parodyti, kad jūsų nauja lygtis yra ankstesnės lygties išvestinė, pakeiskite" s "į" ds/dt ". Techniškai šis žymėjimas reiškia" s išvestinė t atžvilgiu. Paprastesnis būdas tai suprasti yra tai, kad ds /dt yra nuolydžio (nuolydžio) reikšmė bet kuriame pirmosios lygties taške, pavyzdžiui, norint nustatyti tiesės nuolydį, nubrėžtą iš lygties s = -1,5t² + 10t + 4 esant t = 5, mes galime prijungti reikšmę „5“į išvestinę lygtį.

• Naudotame pavyzdyje pirmoji išvestinė lygtis dabar atrodytų taip:

ds/sek = -3t + 10

Žingsnis 3. Prijunkite t reikšmę prie naujos lygties, kad gautumėte momentinio greičio vertę

Dabar, kai turite išvestinę lygtį, nesunku rasti momentinį greitį bet kuriame taške. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai pasirinkti t reikšmę ir prijungti ją prie išvestinės lygties. Pvz., Jei norite rasti momentinį greitį esant t = 5, galite pakeisti t reikšmę „5“išvestinėje lygtyje ds/dt = -3 + 10. Tada išspręskite lygtį taip:

ds/sek = -3t + 10

ds/sek = -3 (5) + 10

ds/sek = -15 + 10 = - 5 metrai per sekundę

Atminkite, kad aukščiau naudojamas vienetas yra „metras per sekundę“. Kadangi tai, ką mes apskaičiuojame, yra poslinkis metrais, o laikas sekundėmis (sekundėmis) ir apskritai greitis yra poslinkis per tam tikrą laiką, šis vienetas yra tinkamas naudoti

2 metodas iš 3: grafinis momentinio greičio įvertinimas

Žingsnis 1. Nubraižykite objekto poslinkio per tam tikrą laiką grafiką

Aukščiau esančiame skyriuje išvestinė priemonė yra paminėta kaip formulė, leidžianti rasti nuolydį tam tikrame jūsų išvestos lygties taške. Tiesą sakant, jei grafike vaizduojate objekto poslinkį kaip liniją, „tiesės nuolydis visuose taškuose yra lygus jo momentinio greičio vertei tame taške“.

• Norėdami apibūdinti objekto poslinkį, naudokite x, norėdami parodyti laiką, o y - poslinkį. Tada nubrėžkite taškus, įvesdami t reikšmę į savo lygtį, taip gaudami grafiko s reikšmę, pažymėkite t, s grafike kaip (x, y).
• Atminkite, kad jūsų diagrama gali būti žemiau x ašies. Jei jūsų objekto judėjimą atspindinti linija pasiekia žemiau x ašies, tai reiškia, kad objektas pasislinko atgal nuo pradinės padėties. Apskritai, jūsų grafikas nepasieks y ašies galo - nes mes nematuojame praeinančio objekto greičio!

Žingsnis 2. Pasirinkite gretimą tašką P ir Q tiesėje

Norėdami gauti linijos nuolydį taške P, galime naudoti triuką, vadinamą „ribos paėmimu“. Ribos nustatymas apima du taškus (P ir Q, taškas netoliese) išlenktoje tiesėje ir tiesės nuolydžio radimą, daug kartų juos sujungiant, kol atstumai P ir Q priartės.

Tarkime, objekto poslinkio eilutėje yra reikšmės (1, 3) ir (4, 7). Tokiu atveju, jei norime rasti nuolydį taške (1, 3), galime nustatyti (1, 3) = P. ir (4, 7) = Q.

Žingsnis 3. Raskite nuolydį tarp P ir Q

Nuolydis tarp P ir Q yra P ir Q y reikšmių skirtumas išilgai P ir Q x ašies reikšmių skirtumo. Kitaip tariant, H = (y_Q - y_P)/(x_Q - x_P), kur H yra nuolydis tarp dviejų taškų. Mūsų pavyzdyje nuolydžio tarp P ir Q vertė yra

H = (y_Q- y_P)/(x_Q- x_P)

H = (7 - 3)/(4 - 1)

H = (4)/(3) = 1.33

Žingsnis 4. Kartokite kelis kartus, priartindami Q arčiau P

Jūsų tikslas yra sumažinti atstumą tarp P ir Q, kad būtų panašus į tašką. Kuo arčiau atstumo tarp P ir Q, tuo arčiau tiesės nuolydis taške P. Padarykite tai kelis kartus, naudodami pavyzdyje pateiktą lygtį, naudodami taškus (2, 4.8), (1.5, 3.95) ir (1.25, 3.49) kaip Q ir pradinis taškas (1, 3) kaip P:

Q = (2, 4,8):

H = (4,8 - 3)/(2 - 1)

H = (1,8)/(1) = 1.8

Q = (1,5, 3,95):

H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)

H = (.95)/(. 5) = 1.9

Q = (1,25, 3,49):

H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)

H = (.49)/(. 25) = 1.96

Žingsnis 5. Įvertinkite linijos nuolydį labai mažu atstumu

Kai Q priartėja prie P, H vis labiau priartėja prie taško P nuolydžio vertės. Galų gale, kai jis pasiekia labai mažą vertę, H yra lygus P nuolydžiui. Kadangi mes negalime išmatuoti ar apskaičiuoti labai mažų atstumų, mes galime įvertinti P nuolydį tik tada, kai jis yra aiškus iš mūsų bandomo taško.

• Pavyzdyje, kai Q priartėjame prie P, H. gauname 1,8, 1,9 ir 1,96 reikšmes. Kadangi šie skaičiai yra arti 2, galime pasakyti, kad 2 yra apytikslis P nuolydis.
• Atminkite, kad nuolydis bet kuriame tiesės taške yra lygus tiesės lygties išvestinei. Kadangi naudojama linija rodo objekto poslinkį laikui bėgant ir kadangi, kaip matėme ankstesniame skyriuje, momentinis objekto greitis yra jo poslinkio išvestinė tam tikrame taške, taip pat galime teigti, kad „2 metrai per sekundę "yra apytikslė momentinio greičio vertė esant t = 1.

3 metodas iš 3: pavyzdiniai klausimai

1 žingsnis. Iš poslinkio lygties s = 5t raskite momentinio greičio reikšmę esant t = 4³ - 3 t² +2 t+9.

Ši problema yra tokia pati kaip ir pirmoje dalyje pateiktas pavyzdys, išskyrus tai, kad ši lygtis yra kubo lygtis, o ne galios lygtis, todėl mes galime išspręsti šią problemą taip pat.

• Pirmiausia imame lygties išvestinę:

s = 5 t³- 3 t²+2 t+9

s = (3) 5 t^{(3 - 1)} - (2) 3 t^{(2 - 1)} + (1) 2 t^{(1 - 1) + (0) 9 t0 - 1}

15 t⁽²⁾ - 6 t⁽¹⁾ + 2 t⁽⁰⁾

15 t⁽²⁾ - 6 t + 2

• Tada įveskite t (4) reikšmę:

s = 15 t⁽²⁾- 6 t + 2

15(4)⁽²⁾- 6(4) + 2

15(16) - 6(4) + 2

240 - 24 + 2 = 22 metrai per sekundę

2 žingsnis. Naudokite grafinį įvertinimą, kad nustatytumėte momentinį greitį ties (1, 3) poslinkio lygčiai s = 4t² - t.

Norėdami išspręsti šią problemą, mes naudosime (1, 3) kaip tašką P, tačiau kitą tašką, esantį greta to taško, turime apibrėžti kaip tašką Q. Tada mums tereikia nustatyti H vertę ir atlikti įvertinimą.

• Pirmiausia suraskite Q reikšmę t = 2, 1,5, 1,1 ir 1,01.

s = 4 t²- t

t = 2:

s = 4 (2)²- (2)

4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, taigi Q = (2, 14)

t = 1,5:

s = 4 (1,5)² - (1.5)

4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, taigi Q = (1,5, 7,5)

t = 1,1:

s = 4 (1,1)² - (1.1)

4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, taigi Q = (1,1, 3,74)

t = 1,01:

s = 4 (1,01)² - (1.01)

4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, taigi Q = (1.01, 3.0704)

• Tada nustatykite H vertę:

Q = (2, 14):

H = (14 - 3)/(2 - 1)

H = (11)/(1) =

11 žingsnis.

Q = (1,5, 7,5):

H = (7,5–3)/(1,5–1)

H = (4,5)/(. 5) =

9 veiksmas.

Q = (1.1, 3.74):

H = (3,74–3)/(1,1–1)

H = (.74)/(. 1) = 7.3

Q = (1.01, 3.0704):

H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)

H = (.0704)/(. 01) = 7.04

• Kadangi H reikšmė yra labai artima 7, tai galime teigti 7 metrai per sekundęyra apytikslis momentinis greitis esant (1, 3).

Patarimai

• Norėdami rasti pagreičio vertę (greičio kitimą laikui bėgant), naudokite pirmoje dalyje nurodytą metodą, kad gautumėte poslinkio funkcijos išvestinės formulės lygtį. Tada dar kartą sukurkite išvestinę lygtį, šį kartą iš gautos lygties. Tai suteiks jums lygtį, kaip rasti pagreitį bet kuriuo metu, tereikia įvesti laiko vertę.
• Lygtis, susijusi su Y (poslinkio) ir X (laiko) verte, gali būti labai paprasta, pavyzdžiui, Y = 6x + 3. Šiuo atveju nuolydžio reikšmė yra pastovi ir nereikia rasti išvestinės, kad ją apskaičiuotumėte, kur pagal tiesės lygtį Y = mx + b bus lygus 6.
• Poslinkis yra panašus į atstumą, tačiau turi kryptį, todėl poslinkis yra vektorinis kiekis, o atstumas - skaliarinis dydis. Poslinkio vertė gali būti neigiama, tačiau atstumas visada bus teigiamas.