Kaip nustatyti 3X3 matricos determinantą: 11 žingsnių (su paveikslėliais)

2024 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-15 08:19

Matricų determinantas dažnai naudojamas skaičiavimuose, tiesinėje algebroje ir aukštesnio lygio geometrijoje. Už akademinės bendruomenės ribų kompiuterinės grafikos inžinieriai ir programuotojai nuolat naudoja matricas ir jas lemiančius veiksnius. Jei jau žinote, kaip nustatyti 2x2 dydžio matricos determinantą, jums tiesiog reikia išmokti naudoti sudėjimo, atėmimo ir laiko, kad būtų galima nustatyti 3x3 eilės matricos determinantą.

Žingsnis

1 dalis iš 2: Determinantų nustatymas

Parašykite 3 x 3 užsakymo matricą. Pradėsime nuo 3x3 eilės matricos A ir bandysime rasti determinantą | A |. Žemiau yra bendra matricos žymėjimo forma, kurią naudosime, ir mūsų matricos pavyzdys:

		a11	a12	a13		1	5	3
M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

1 žingsnis. Pasirinkite eilutę arba stulpelį

Pasirinkite pasirinkimą kaip atskaitos eilutę arba stulpelį. Kad ir kurį pasirinktumėte, vis tiek gausite tą patį atsakymą. Laikinai pasirinkite pirmą eilutę. Kitame skyriuje pateiksime keletą pasiūlymų, kaip pasirinkti lengviausiai apskaičiuojamą parinktį.

Pasirinkite pirmąją pavyzdinės matricos A eilutę. Apskaičiuokite skaičių 1 5 3. Įprasta tvarka pažymėkite apskritimą a₁₁ a₁₂ a₁₃.

2 žingsnis. Perbraukite pirmojo elemento eilutę ir stulpelį

Pažvelkite į eilutę ar stulpelį, kurį apvedėte, ir pasirinkite pirmąjį elementą. Perbraukite eilutes ir stulpelius. Liks nepaliesti tik 4 skaičiai. Padarykite šiuos 4 skaičius 2 x 2 eilės matrica.

• Mūsų pavyzdyje mūsų atskaitos eilutė yra 1 5 3. Pirmasis elementas yra 1 eilutėje ir 1 stulpelyje. Perbraukite visą 1 eilutę ir 1 stulpelį. Likusius elementus įrašykite į 2 x 2 matricą:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

3 žingsnis. Nustatykite 2 x 2 eilės matricos determinantą

Prisiminkite, nustatykite matricos determinantą [^{a_c b_d] autorius skelbimas - bc. Galbūt jūs taip pat išmokote nustatyti matricos determinantą, nubrėždami X tarp 2 x 2 matricos. Padauginkite du skaičius, sujungtus su X linija \. Tada atimkite skaičių, kiek kartų buvo sujungti du linija / yra. Naudokite šią formulę, kad apskaičiuotumėte 2 x 2 matricos determinantą.}

• Pavyzdyje matricos determinantas [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Šis determinantas vadinamas nepilnametis elementų, kuriuos pasirinkote pradinėje matricoje. Šiuo atveju ką tik radome a₁₁.

Žingsnis 4. Padauginkite rastą skaičių iš pasirinkto elemento

Atminkite, kad pasirinkę elementus iš nuorodos eilutės (arba stulpelio) nusprendėte, kurias eilutes ir stulpelius išbraukti. Padauginkite šį elementą iš jūsų rastos matricos 2 x 2.

Pavyzdyje pasirenkame a₁₁ kuris yra 1. Padauginkite šį skaičių iš -34 (matricos 2 x 2 determinantas), kad gautumėte 1*-34 = - 34.

Žingsnis 5. Nustatykite savo atsakymo simbolį

Kitas žingsnis yra tai, kad jūs turite padauginti savo atsakymą iš 1 arba -1, kad gautumėte kofaktorius pasirinkto elemento. Jūsų naudojamas simbolis priklauso nuo to, kur yra elementai 3 x 3 matricoje. Atminkite, kad ši simbolių lentelė naudojama elemento daugikliui nustatyti:

• + - +
• - + -
• + - +
• Kadangi mes pasirenkame A.₁₁ kuris pažymėtas +, skaičių padauginsime iš +1 (arba, kitaip tariant, jo nekeiskite). Rodomas atsakymas bus tas pats, būtent - 34.
• Kitas simbolio apibrėžimo būdas yra formulės (-1) naudojimas ^{i+j, kur i ir j yra eilutės ir stulpelio elementai.}

Žingsnis 6. Pakartokite šį procesą su antruoju elementu jūsų nuorodos eilutėje arba stulpelyje

Grįžkite prie pradinės 3 x 3 matricos, kurioje anksčiau apjuosėte eilutę ar stulpelį. Pakartokite tą patį veiksmą su elementu:

• Perbraukite elemento eilutę ir stulpelį.

  Tokiu atveju pasirinkite elementą a₁₂ (tai verta 5). Perbraukite 1 eilutę (1 5 3) ir 2 stulpelį (5 4 6).

• Likusius elementus paverskite 2x2 matrica.

  Mūsų pavyzdyje 2x2 eilės matrica antrajam elementui yra [²₄ ⁷₂].

• Nustatykite šios 2x2 matricos determinantą.

  Naudokite ad -bc formulę. (2*2 - 7*4 = -24)

• Padauginkite iš pasirinktos 3x3 matricos elementų.

  -24 * 5 = -120

• Nuspręskite, ar aukščiau pateiktą rezultatą padauginti iš -1, ar ne.

  Naudokite simbolių arba formulių lentelę (-1)^ij. Pasirinkite elementą a₁₂ simbolizuojama - simbolių lentelėje. Pakeiskite mūsų atsakymo simbolį: (-1)*(-120) = 120.

Žingsnis 7. Pakartokite tą patį procesą su trečiuoju elementu

Norėdami nustatyti determinantą, turite dar vieną kofaktorių. Suskaičiuokite i trečiąjį elementą savo atskaitos eilutėje ar stulpelyje. Čia yra greitas būdas apskaičiuoti kofaktorių a₁₃ mūsų pavyzdyje:

• Perbraukite 1 eilutę ir 3 stulpelį, kad gautumėte [²₄ ⁴₆].
• Determinantas yra 2*6 - 4*4 = -4.
• Padauginkite iš elemento a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Elementas a₁₃ simbolis + simbolių lentelėje, todėl atsakymas yra - 12.

8. Sudėkite savo trijų skaičiavimų rezultatus

Tai paskutinis žingsnis. Jūs apskaičiavote tris kofaktorius, po vieną kiekvienam eilutės ar stulpelio elementui. Susumavus tuos rezultatus ir rasite 3 x 3 matricos determinantą.

Pavyzdyje matricos determinantas yra - 34 + 120 + - 12 = 74.

2 dalis iš 2: Problemų sprendimo palengvinimas

Žingsnis 1. Pasirinkite nuorodų eilutę arba stulpelį, kuriame yra daugiausiai 0

Atminkite, kad galite pasirinkti bet kurią norimą eilutę ar stulpelį. Nepriklausomai nuo to, ką pasirinksite, atsakymas bus tas pats. Jei pasirinksite eilutę ar stulpelį su skaičiumi 0, jums reikės tik apskaičiuoti kofaktorių su elementais, kurie nėra 0, nes:

• Pavyzdžiui, pasirinkite antrąją eilutę, kurioje yra elementas a₂₁, a₂₂, fondas₂₃. Norėdami išspręsti šią problemą, naudosime 3 skirtingas 2 x 2 matricas, tarkime, A.₂₁, A.₂₂, Tu₂₃.
• 3x3 matricos determinantas yra a₂₁| A.₂₁| - a₂₂| A₂₂| + a₂₃| A₂₃|.
• Jeigu₂₂ fondas₂₃ reikšmė 0, esama formulė bus a₂₁| A.₂₁| - 0*| A₂₂| + 0*| A₂₃| = a₂₁| A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A₂₁|. Todėl mes apskaičiuosime tik vieno elemento kofaktorių.

Žingsnis 2. Norėdami palengvinti matricos problemas, naudokite papildomas eilutes

Jei paimsite reikšmes iš vienos eilutės ir pridėsite jas prie kitos eilutės, matricos determinantas nesikeis. Tas pats pasakytina apie stulpelius. Tai galite padaryti pakartotinai arba padauginti iš konstantos prieš ją pridėdami, kad matricoje gautumėte kuo daugiau 0. Tai gali sutaupyti daug laiko.

• Pavyzdžiui, turite 3 eilučių matricą: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• Norėdami pašalinti skaičių 9, esantį a padėtyje₁₁, galite padauginti 2 eilutės reikšmę iš -3 ir pridėti rezultatą prie pirmosios eilutės. Dabar pirmoji eilutė yra [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Naujoje matricoje yra eilutės [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Naudokite tą patį triuką stulpeliuose, kad padarytumėte₁₂ būti skaičius 0.

Žingsnis 3. Trikampėms matricoms naudokite greitą metodą

Šiuo ypatingu atveju lemiamas veiksnys yra elementų, esančių pagrindinėje įstrižainėje, sandauga₁₁ viršuje kairėje į a₃₃ matricos apačioje dešinėje. Ši matrica vis dar yra 3x3 matrica, tačiau „trikampio“matrica turi specialų skaičių modelį, kuris nėra 0:

• Viršutinė trikampio matrica: visi elementai, kurie nėra 0, yra pagrindinėje įstrižainėje arba virš jos. Visi skaičiai žemiau pagrindinės įstrižainės yra 0.
• Apatinė trikampio matrica: visi elementai, kurie nėra 0, yra pagrindinėje įstrižainėje arba žemiau jos.
• Įstrižainės matrica: visi elementai, kurie nėra 0, yra pagrindinėje įstrižainėje (pirmiau minėtų tipų matricų pogrupis).

Patarimai

• Jei visi eilutės ar stulpelio elementai yra 0, matricos determinantas yra 0.
• Šis metodas gali būti naudojamas visų dydžių kvadratinėms matricoms. Pavyzdžiui, jei naudosite šį metodą 4x4 eilės matricai, jūsų „smūgis“paliks 3x3 eilės matricą, kurios determinantą galima nustatyti atlikus aukščiau nurodytus veiksmus. Atminkite, kad tai padaryti gali būti nuobodu!