Kaip išvesti numanomas funkcijas: 7 žingsniai (su paveikslėliais)

2025 Autorius: Jason Gerald | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2025-01-23 12:25

Apskaičiuojant, kai turite y lygtį, parašytą x pavidalu (pvz., Y = x² -3x), nesunku naudoti pagrindinius išvesties metodus (matematikai vadina netiesioginių funkcijų išvestinių metodus), kad surastų išvestinę. Tačiau lygtims, kurias sunku sudaryti, tik vienoje lygybės ženklo pusėje esant y terminui (pvz., X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), reikia kitokio požiūrio. Naudojant metodą, vadinamą netiesioginių funkcijų išvestinėmis priemonėmis, nesunku rasti kelių kintamųjų lygčių darinius, jei žinote aiškių funkcijų išvestinių priemonių pagrindus!

Žingsnis

1 metodas iš 2: greitai išveskite paprastas lygtis

Žingsnis 1. Išveskite x terminus kaip įprasta

Bandant išvesti kelių kintamųjų lygtį, tokią kaip x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, gali būti sunku žinoti, nuo ko pradėti. Laimei, pirmasis numanomos funkcijos išvestinės priemonės žingsnis yra lengviausias. Pirmiausia išveskite x terminus ir konstantas abiejose lygties pusėse pagal įprastų (aiškių) išvestinių priemonių taisykles. Kol kas nekreipkite dėmesio į y terminus.

• Pabandykime pateikti paprastos aukščiau pateiktos lygties pavyzdį. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 turi du narius x: x² ir -5 kartus. Jei norime išvesti lygtį, pirmiausia turime tai padaryti taip:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Sumažinkite iki 2 x galios² kaip koeficientą, pašalinkite x iš -5x ir pakeiskite 19 į 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Žingsnis 2. Išveskite y terminus ir prie kiekvieno termino pridėkite (dy/dx)

Kitame žingsnyje išveskite y terminus taip, kaip išvedėte x terminus. Tačiau šį kartą prie kiekvieno termino pridėkite (dy/dx), kaip pridėtumėte koeficientus. Pavyzdžiui, jei sumažinsite y², tada darinys tampa 2y (dy/dx). Kol kas nekreipkite dėmesio į terminus, turinčius x ir y.

• Mūsų pavyzdyje mūsų lygtis dabar atrodo taip: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Kitą y išvesties veiksmą atliksime taip:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Sumažinkite iki 2 galios y² kaip koeficientus, pašalinkite y iš 8y ir padėkite dy/dx prie kiekvieno termino).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Žingsnis 3. Naudokite produkto taisyklę arba koeficiento taisyklę terminams, turintiems x ir y

Darbas su terminais, turinčiais x ir y, yra šiek tiek sudėtingas, tačiau jei žinote produkto taisykles ir išvestinių finansinių priemonių koeficientą, jums bus lengva. Jei terminai x ir y padauginami, naudokite produkto taisyklę ((f × g) '= f' × g + g × f '), pakeisdami x terminą f ir y terminą g. Kita vertus, jei terminai x ir y yra nesuderinami, naudokite koeficiento taisyklę ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), pakeisdami skaitiklį f, o vardiklį - g.

• Mūsų pavyzdyje 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, mes turime tik vieną terminą, kuris turi x ir y - 2xy². Kadangi x ir y dauginami vienas iš kito, mes naudosime produkto taisyklę taip:

  2xy² = (2x) (y²)- nustatykite 2x = f ir y² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2m² + 4xy (dy/dx)

• Pridėję tai prie pagrindinės lygties, gauname 2x + 2 metai (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2 metai² + 4xy (dy/dx) = 0

4 žingsnis. Vienas (dy/dx)

Tu beveik baigei! Dabar viskas, ką jums reikia padaryti, tai išspręsti lygtį (dy/dx). Tai atrodo sunku, bet paprastai taip nėra - atminkite, kad bet kurie du terminai a ir b padauginami iš (dy/dx) dėl daugybos savybės gali būti parašyti kaip (a + b) (dy/dx). Ši taktika gali palengvinti izoliaciją (dy/dx) - tiesiog perkelkite visus kitus terminus kitoje skliaustelių pusėje, tada padalinkite iš terminų, esančių skliaustuose šalia (dy/dx).

• Mūsų pavyzdyje supaprastiname 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 taip:

  2x + 2 metai (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2 metai² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2m + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2m + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

2 metodas iš 2: pažangių metodų naudojimas

Žingsnis 1. Įveskite reikšmę (x, y), kad surastumėte (dy/dx) bet kurį tašką

Saugu! Jūs netiesiogiai išvedėte savo lygtį - tai nėra lengvas darbas iš pirmo karto! Naudoti šią lygtį norint rasti bet kurio taško (x, y) gradientą (dy/dx) yra taip paprasta, kaip prijungti taško x ir y reikšmes dešinėje lygties pusėje, tada rasti (dy/dx).

• Pavyzdžiui, tarkime, kad norime rasti gradientą aukščiau pateiktos pavyzdinės lygties taške (3, -4). Norėdami tai padaryti, x pakeisime 3, o y -4, spręsdami taip:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4)))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, arba 0, 6875.

Žingsnis 2. Funkcijoms-funkcijose naudokite grandinės taisyklę

Grandinės taisyklė yra svarbi žinia, kurią reikia turėti dirbant su skaičiavimo problemomis (įskaitant numanomas funkcijų išvestines problemas). Grandinės taisyklė teigia, kad funkcijai F (x), kurią galima parašyti kaip (f o g) (x), F (x) darinys lygus f '(g (x)) g' (x). Sunkių netiesioginių funkcijų išvestinių problemų atveju tai reiškia, kad galima išvesti skirtingas atskiras lygties dalis ir tada sujungti rezultatus.

• Pavyzdžiui, tarkime, kad turime rasti nuodėmės darinį (3x² + x) kaip didesnės netiesioginės funkcijos išvestinės problemos dalis lygčiai sin (3x² + x) + y³ = 0. Jei įsivaizduojame nuodėmę (3x² + x) kaip f (x) ir 3x² + x kaip g (x), išvestinę galime rasti taip:

  f '(g (x)) g' (x)

  (nuodėmė (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3 kartus² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Žingsnis 3. Norėdami gauti lygtis su kintamaisiais x, y ir z, raskite (dz/dx) ir (dz/dy)

Nors ir neįprasta naudojant pagrindinius skaičiavimus, kai kurioms pažangioms programoms gali prireikti išvesti daugiau nei dviejų kintamųjų numanomas funkcijas. Kiekvienam papildomam kintamajam turite rasti papildomą jo išvestinę x atžvilgiu. Pavyzdžiui, jei turite x, y ir z, turėtumėte ieškoti ir (dz/dy), ir (dz/dx). Tai galime padaryti du kartus išvesdami lygtį x atžvilgiu - pirma, įvesime (dz/dx) kiekvieną kartą, kai išvesime terminą, kuriame yra z, ir, antra, kiekvieną kartą įvesdami (dz/dy) z. Po to belieka išspręsti (dz/dx) ir (dz/dy).

• Pavyzdžiui, tarkime, kad bandome išvesti x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Pirmiausia išveskime prieš x ir įvesime (dz/dx). Nepamirškite, jei reikia, taikyti produkto taisyklę!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3 kartus²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 metai⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3 kartus²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 metai⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 m⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 m⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Dabar darykite tą patį su (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3 m²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3 m² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3 m² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)