Racionalioji lygtis yra trupmena, turinti vieną ar kelis kintamuosius skaitiklyje arba vardiklyje. Racionalioji lygtis yra bet kuri trupmena, apimanti bent vieną racionaliąją lygtį. Kaip ir įprastos algebrinės lygtys, racionaliosios lygtys sprendžiamos atliekant tą pačią operaciją abiejose lygties pusėse, kol kintamuosius galima perkelti į bet kurią lygties pusę. Du specialūs metodai, kryžminis daugyba ir mažiausio bendro vardiklio radimas, yra labai naudingi būdai perkelti kintamuosius ir išspręsti racionalias lygtis.
Žingsnis
1 iš 2 metodas: kryžminis daugyba
1 žingsnis. Jei reikia, pertvarkykite lygtį, kad gautumėte trupmeną vienoje lygties pusėje
Kryžminis daugyba yra greitas ir paprastas būdas išspręsti racionalias lygtis. Deja, šį metodą galima naudoti tik racionalioms lygtims, kuriose kiekvienoje lygties pusėje yra bent viena racionalioji lygtis arba trupmena. Jei jūsų lygtis neatitinka šių kelių produktų reikalavimų, gali tekti naudoti algebrines operacijas, kad perkeltumėte dalis į reikiamas vietas.
-
Pavyzdžiui, lygtį (x + 3)/4-x/(-2) = 0 galima lengvai sudėti į kryžminį produktą, pridedant x/(-2) prie abiejų lygties pusių, kad ji taptų (x + 3)/4 = x/(-2).
Atkreipkite dėmesį, kad dešimtainiai ir sveikieji skaičiai gali būti paversti trupmenomis, pavyzdžiui, nurodant vardiklį 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, pavyzdžiui, galima perrašyti kaip (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, todėl jis atitinka kryžminio daugybos sąlygą
- Kai kurios racionalios lygtys negali būti lengvai sumažintos iki formos, kurioje kiekvienoje pusėje yra viena trupmena arba racionalioji lygtis. Tokiais atvejais naudokite tą patį mažiausio vardiklio metodą.
Žingsnis 2. Kryžminis dauginimas
Kryžminis dauginimas reiškia, kad vieną iš trupmenos skaitiklių reikia padauginti iš kitos trupmenos vardiklio ir atvirkščiai. Padauginkite kairėje esančios trupmenos skaitiklį iš dešinės trupmenos vardiklio. Pakartokite su dešiniuoju vardikliu su kairiuoju.
Kryžminis daugyba veikia pagal pagrindinius algebrinius principus. Racionalias lygtis ir kitas trupmenas galima padaryti ne trupmenomis, padauginus jas iš vardiklio. Kryžminis produktas iš esmės yra greitas būdas padauginti abi lygties puses iš abiejų vardiklių. Netikiu? Pabandykite - supaprastinę gausite tą patį rezultatą
Žingsnis 3. Padarykite abu produktus lygius vienas kitam
Po daugybos gausite du daugybos rezultatus. Padarykite juos lygius vienas kitam ir supaprastinkite, kad lygtis būtų kuo paprastesnė.
Pavyzdžiui, jei jūsų pradinė racionalioji lygtis buvo (x+3)/4 = x/(-2), padauginus kryžių, jūsų nauja lygtis tampa -2 (x+3) = 4x. Jei norite, taip pat galite parašyti kaip -2x - 6 = 4x
Žingsnis 4. Raskite kintamojo vertę
Norėdami rasti lygties kintamojo vertę, naudokite algebrines operacijas. Atminkite, kad jei x yra abiejose lygties pusėse, turite pridėti arba atimti x iš abiejų lygties pusių, kad x liktų tik vienoje lygties pusėje.
Mūsų pavyzdyje abi lygties puses galime padalyti iš -2, taigi x+3 = -2x. Atimant x iš abiejų pusių gauname 3 = -3x. Galiausiai, padalijus abi puses iš -3, rezultatas tampa -1 = x, kurį galima užrašyti kaip x = -1. Mes nustatėme x reikšmę, išsprendę racionalią lygtį
2 metodas iš 2: Raskite mažiausią bendrą vardiklį
Žingsnis 1. Žinokite tikslų laiką naudoti tą patį mažiausią vardiklį
Tas pats mažiausias vardiklis gali būti naudojamas racionalioms lygtims supaprastinti, kad jose būtų galima ieškoti kintamųjų verčių. Rasti mažiausią bendrą vardiklį yra gera idėja, jei jūsų racionaliosios lygties neįmanoma lengvai parašyti viena trupmena (ir tik viena trupmena) kiekvienoje lygties pusėje. Norint išspręsti racionalias lygtis su trimis ar daugiau dalių, naudingas mažiausiai bendras vardiklis. Tačiau norint išspręsti racionalią lygtį, kurią sudaro tik dvi dalys, greičiau naudojamas kryžminis produktas.
Žingsnis 2. Patikrinkite kiekvienos trupmenos vardiklį
Nustatykite mažiausią skaičių, kurį kiekvienas vardiklis gali padalyti, ir gaukite sveiką skaičių. Šis skaičius yra mažiausiai paplitęs jūsų lygties vardiklis.
- Kartais mažiausias bendras vardiklis - tai yra mažiausias skaičius, turintis visus vardiklio veiksnius - yra aiškiai matomas. Pavyzdžiui, jei jūsų lygtis yra x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, nesunku pamatyti mažiausią skaičių, kurio koeficientas yra 3, 2 ir 6, tai yra skaičius 6.
- Tačiau dažnai mažiausiai matomas racionalios lygties vardiklis nėra aiškiai matomas. Tokiu atveju pabandykite patikrinti didesnio vardiklio kartotinius, kol rasite skaičių, kuris turi visų kitų mažesnių vardiklių koeficientą. Dažnai mažiausias bendras vardiklis yra dviejų vardiklių sandauga. Pavyzdžiui, lygtyje x/8 + 2/6 = (x-3)/9 mažiausias bendras vardiklis yra 8*9 = 72.
- Jei vienas ar keli jūsų frakcijos vardikliai turi kintamųjų, šis procesas yra sunkesnis, bet įmanomas. Tokiu atveju mažiausias bendras vardiklis yra lygtis (su kintamuoju), kuri dalijasi iš visų kitų vardiklių. Pavyzdžiui, lygtyje 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), mažiausias bendras vardiklis yra 3x (x-1), nes bet kuris vardiklis gali jį padalyti-padalijus iš (x-1) gaunamas 3x, padalijus iš 3x gauname (x-1), o padalijus iš x gauname 3 (x-1).
Žingsnis 3. Kiekvieną racionaliosios lygties trupmeną padauginkite iš 1
Padauginti kiekvieną dalį iš 1 atrodo nenaudinga. Bet čia yra triukas. 1 gali būti apibrėžiamas kaip bet koks skaičius, kuris yra vienodas tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje, pvz., -2/2 ir 3/3, o tai yra teisingas būdas rašyti 1. Šis metodas naudoja alternatyvų apibrėžimą. Padauginkite kiekvieną racionaliosios lygties trupmeną iš 1, užsirašydami skaičių 1, kuris padauginus iš vardiklio duoda mažiausią bendrą vardiklį.
- Mūsų pagrindiniame pavyzdyje padauginsime x/3 iš 2/2, kad gautume 2x/6, ir padauginsime 1/2 iš 3/3, kad gautume 3/6. 2x + 1/6 jau turi tą patį mažiausią vardiklį, kuris yra 6, todėl galime jį padauginti iš 1/1 arba palikti ramybėje.
- Mūsų pavyzdyje su trupmenos vardiklio kintamuoju procesas yra šiek tiek sudėtingesnis. Kadangi mažiausias mūsų vardiklis yra 3x (x-1), kiekvieną racionaliąją lygtį padauginame iš to, kas grąžina 3x (x-1). Padauginsime 5/(x-1) iš (3x)/(3x), gauname 5 (3x)/(3x) (x-1), padauginsime 1/x iš 3 (x-1)/3 (x- 1) kuris duoda 3 (x-1)/3x (x-1), o padauginus 2/(3x) iš (x-1)/(x-1) gauname 2 (x-1)/3x (x- 1).
Žingsnis 4. Supaprastinkite ir raskite x reikšmę
Dabar, kadangi kiekviena jūsų racionaliosios lygties dalis turi tą patį vardiklį, galite pašalinti vardiklį iš lygties ir išspręsti skaitiklį. Padauginkite abi lygties puses, kad gautumėte skaitiklio reikšmę. Tada naudokite algebrines operacijas, kad surastumėte x (arba bet kokio kintamojo, kurį norite išspręsti) reikšmę vienoje lygties pusėje.
- Mūsų pagrindiniame pavyzdyje, padauginus visas dalis iš alternatyvios formos 1, gauname 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Galima pridėti dvi trupmenas, jei jos turi tą patį vardiklį, todėl šią lygtį galime supaprastinti iki (2x+3)/6 = (3x+1)/6, nekeisdami vertės. Padauginkite abi puses iš 6, kad pašalintumėte vardiklį, todėl rezultatas yra 2x+3 = 3x+1. Atimkite 1 iš abiejų pusių, kad gautumėte 2x+2 = 3x, ir atimkite 2x iš abiejų pusių, kad gautumėte 2 = x, kurį galima parašyti kaip x = 2.
- Mūsų pavyzdyje su kintamuoju vardiklyje mūsų lygtis, padauginus iš 1, tampa 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Padauginus visas dalis tuo pačiu mažiausiu vardikliu, leidžiantį praleisti vardiklį, gaunama 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Tai taip pat taikoma 5x = 3x -3 + 2x -2, o tai supaprastinama iki 15x = x -5. Atimant x iš abiejų pusių, gaunama 14x = -5, o galų gale supaprastinama iki x = -5/14.
Patarimai
- Išsprendę kintamąjį, patikrinkite savo atsakymą, įkišdami kintamojo vertę į pradinę lygtį. Jei jūsų kintamojo vertė yra teisinga, galite supaprastinti pradinę lygtį į paprastą teiginį, kuris visada lygus 1 = 1.
- Atkreipkite dėmesį, kad bet kokį daugianarį galite parašyti kaip racionalią lygtį; padėkite jį virš vardiklio 1. Taigi x+3 ir (x+3)/1 turi tą pačią reikšmę, tačiau antroji lygtis gali būti klasifikuojama kaip racionali lygtis, nes ji parašyta kaip trupmena.
