Kiekviena funkcija turi du kintamuosius, būtent nepriklausomą ir priklausomą kintamąjį. Pažodžiui priklausomo kintamojo vertė „priklauso“nuo nepriklausomo kintamojo. Pavyzdžiui, funkcijoje y = f (x) = 2 x + y, x yra nepriklausomas kintamasis, o y yra priklausomas kintamasis (kitaip tariant, y yra x funkcija). Tinkamos žinomo kintamojo x vertės vadinamos „kilmės domenais“. Tinkamos žinomo y kintamojo vertės vadinamos „rezultatų diapazonu“.
Žingsnis
1 dalis iš 3: Funkcijos domeno paieška
Žingsnis 1. Nuspręskite, kokio tipo funkciją ketinate atlikti
Funkcijos sritis yra visos x reikšmės (horizontali ašis), kurios grąžins galiojančias y reikšmes. Funkcijos lygtis gali būti kvadratinė, trupmeninė arba turėti šaknį. Norėdami apskaičiuoti funkcijos domeną, pirmiausia turite išnagrinėti lygties kintamuosius.
- Kvadratinė funkcija turi kirvio formą2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Funkcijų su trupmenomis pavyzdžiai: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), ir kiti.
- Funkcijos, turinčios šaknis, yra: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x ir pan.
Žingsnis 2. Užrašykite domeną tinkamai pažymėdami
Funkcijos domeno rašymas apima laužtinių skliaustų [,] ir skliaustų (,) naudojimą. Naudokite kvadratinius skliaustus [,], jei numeris priklauso domenui, ir skliaustus (,), jei domenas neįtrauktas. U raidė reiškia sąjungą, jungiančią domeno dalis, kurios gali būti atskirtos atstumu.
- Pavyzdžiui, [-2, 10) U (10, 2] sritis apima -2 ir 2, bet neapima skaičiaus 10.
- Visada naudokite skliaustus (), jei naudojate begalybės simbolį,.
Žingsnis 3. Nubraižykite kvadratinės lygties grafiką
Kvadratinės lygtys sukuria parabolinį grafiką, kuris atsiveria aukštyn arba žemyn. Atsižvelgiant į tai, kad parabolė ir toliau tęsis begalybę x ašyje, daugumos kvadratinių lygčių sritis yra visi realieji skaičiai. Kitaip tariant, kvadratinė lygtis apima visas x reikšmes skaičių eilutėje, nurodant domeną R (visų realių skaičių simbolis).
- Norėdami išspręsti šią funkciją, pasirinkite bet kurią x reikšmę ir įveskite ją į funkciją. Išsprendus funkciją su x reikšme, bus grąžinta y reikšmė. X ir y reikšmės yra funkcijos grafiko (x, y) koordinatės.
- Nubraižykite šias koordinates grafike ir pakartokite procesą su kita x reikšme.
- Nubraižę kai kurias šio modelio reikšmes, gausite kvadratinės funkcijos formos apžvalgą.
4 veiksmas. Jei funkcijos lygtis yra trupmena, vardiklį padarykite lygų nuliui
Dirbdami su trupmenomis, niekada negalite padalinti iš nulio. Padarę vardiklį lygų nuliui ir suradę x reikšmę, galite apskaičiuoti reikšmes, kurias reikia išgauti iš funkcijos.
- Pavyzdžiui: nustatykite funkcijos f (x) = sritį (x+1)/(x - 1).
- Funkcijos vardiklis yra (x - 1).
- Padėkite vardiklį lygų nuliui ir apskaičiuokite x reikšmę: x - 1 = 0, x = 1.
- Užsirašykite domeną: Funkcijos sritis neapima 1, bet apima visus tikruosius skaičius, išskyrus 1; todėl domenas yra (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) galima skaityti kaip visų realiųjų skaičių rinkinį, išskyrus 1. Begalybės simbolis, reiškia visus tikruosius skaičius. Šiuo atveju visi realūs skaičiai, didesni nei 1 ir mažesni už 1, įtraukiami į domeną.
5 veiksmas. Jei lygtis yra šakninė funkcija, pagrindinius kintamuosius padarykite didesnius arba lygius nuliui
Negalite naudoti neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies; todėl bet kokia x reikšmė, dėl kurios gaunamas neigiamas skaičius, turi būti pašalinta iš funkcijos domeno.
- Pavyzdžiui: Raskite funkcijos domeną f (x) = (x + 3).
- Šaknies kintamieji yra (x + 3).
- Padarykite reikšmę didesnę arba lygią nuliui: (x + 3) 0.
- Apskaičiuokite x reikšmę: x -3. Išspręskite x: x -3.
- Funkcijos sritis apima visus realiuosius skaičius, didesnius arba lygius -3; todėl domenas yra [-3,).
2 dalis iš 3: Kvadratinės lygties diapazono radimas
Žingsnis 1. Įsitikinkite, kad turite kvadratinę funkciją
Kvadratinė funkcija turi kirvio formą2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė, kuri atsidaro arba nusileidžia. Yra įvairių būdų, kaip apskaičiuoti funkcijos diapazoną, priklausomai nuo to, su kokia funkcija dirbate.
Lengviausias būdas nustatyti kitų funkcijų diapazoną, pvz., Šaknies funkciją ar trupmenos funkciją, yra funkcijos grafikas naudojant grafinę skaičiuoklę
Žingsnis 2. Raskite funkcijos viršūnės x reikšmę
Kvadratinės funkcijos viršūnė yra parabolės viršūnė. Atminkite, kad kvadratinės funkcijos forma yra kirvis2 + bx + c. Norėdami rasti x koordinatę, naudokite lygtį x = -b/2a. Lygtis yra pagrindinės kvadratinės funkcijos išvestinė, vaizduojanti lygtį su nuliniu nuolydžiu/nuolydžiu (grafiko viršūnėje funkcijos gradientas yra nulis).
- Pavyzdžiui, raskite 3x diapazoną2 + 6x -2.
- Apskaičiuokite viršūnės x koordinatę: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Žingsnis 3. Apskaičiuokite funkcijos viršūnės y reikšmę
Prijunkite x koordinatę prie funkcijos, kad apskaičiuotumėte atitinkamą viršūnės y reikšmę. Ši y reikšmė nurodo funkcijos diapazono ribą.
- Apskaičiuokite y koordinatę: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Šios funkcijos viršūnė yra (-1, -5).
Žingsnis 4. Nustatykite parabolės kryptį, prijungdami dar bent vieną x reikšmę
Pasirinkite bet kurią kitą x reikšmę ir prijunkite ją prie funkcijos, kad apskaičiuotumėte tinkamą y reikšmę. Jei y reikšmė yra virš viršūnės, parabolė tęsiasi +∞. Jei y reikšmė yra žemiau viršūnės, parabolė tęsis iki -∞.
- Naudokite x reikšmę -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Šis skaičiavimas grąžina koordinates (-2, -2).
- Šios koordinatės rodo, kad parabolė tęsiasi virš viršūnės (-1, -5); todėl į diapazoną įeina visos y reikšmės, didesnės nei -5.
- Šios funkcijos diapazonas yra [-5,).
Žingsnis 5. Tinkamai pažymėkite diapazoną
Kaip ir domenai, diapazonai rašomi tuo pačiu užrašu. Naudokite kvadratinius skliaustus [,], jei skaičius yra diapazone, ir skliaustelius (,), jei diapazone nėra skaičiaus. U raidė reiškia sąjungą, jungiančią diapazono dalis, kurios gali būti atskirtos atstumu.
- Pavyzdžiui, [-2, 10) U (10, 2] diapazonas apima -2 ir 2, bet neapima skaičiaus 10.
- Visada naudokite skliaustus, jei naudojate begalybės simbolį,.
3 dalis iš 3: Diapazono nustatymas iš funkcijos grafiko
Žingsnis 1. Nubrėžkite funkciją
Dažnai lengviausias būdas nustatyti funkcijos diapazoną yra jos grafikas. Daugelis šaknų funkcijų turi diapazoną (-∞, 0] arba [0, +∞), nes horizontalios parabolės (šoninės parabolės) viršūnė yra horizontalioje x ašyje. Šiuo atveju funkcija apima visas teigiamas y reikšmes, jei atsiveria parabolė, arba visas neigiamas y reikšmes, jei parabolė atsidaro žemyn. Frakcinės funkcijos turės asimptotus (linijas, kurios niekada nėra nukirptos tiesia linija / kreive, bet priartintos prie begalybės), kurios apibrėžia funkcijos diapazoną.
- Kai kurios šaknies funkcijos prasidės aukščiau arba žemiau x ašies. Šiuo atveju diapazonas nustatomas pagal skaičių, kuriame prasideda šaknies funkcija. Jei parabolė prasideda y = -4 ir kyla aukštyn, tada diapazonas yra [-4, +∞).
- Lengviausias būdas piešti funkciją yra naudoti grafinę programą arba grafinę skaičiuoklę.
- Jei neturite grafinės skaičiuoklės, galite piešti apytikslį grafiko eskizą, prijungę x reikšmę prie funkcijos ir gavę atitinkamą y reikšmę. Nubraižykite šias koordinates grafike, kad suprastumėte, kaip atrodo grafikas.
Žingsnis 2. Raskite mažiausią funkcijos vertę
Iškart po funkcijos nupiešimo turėtumėte aiškiai matyti žemiausią grafiko tašką. Jei nėra aiškios minimalios vertės, žinokite, kad kai kurios funkcijos ir toliau veiks ties –∞ (begalybė).
Frakcijos funkcija apima visus taškus, išskyrus tuos, kurie yra asimptotuose. Funkcija turi tokį diapazoną (-∞, 6) U (6,)
Žingsnis 3. Nustatykite didžiausią funkcijos vertę
Vėlgi, nubraižę grafiką, turėtumėte sugebėti nustatyti maksimalų funkcijos tašką. Kai kurios funkcijos tęsis +∞, todėl neturės minimalios vertės.
Žingsnis 4. Tinkamai pažymėkite diapazoną
Kaip ir domenai, diapazonai rašomi tuo pačiu užrašu. Naudokite kvadratinius skliaustus [,], jei skaičius yra diapazone, ir skliaustelius (,), jei diapazone nėra skaičiaus. U raidė reiškia sąjungą, jungiančią diapazono dalis, kurios gali būti atskirtos atstumu.
- Pavyzdžiui, [-2, 10) U (10, 2] diapazonas apima -2 ir 2, bet neapima skaičiaus 10.
- Jei naudojate begalybės simbolį, visada naudokite skliaustus.
