Vektorius yra fizinis dydis, turintis tiek dydį, tiek kryptį (pvz., Greitis, pagreitis ir poslinkis), o ne skaliaras, kurį sudaro tik dydis (pvz., Greitis, atstumas ar energija). Jei skaliarus galima pridėti pridedant dydžius (pvz., 5 kJ darbas plius 6 kJ darbas lygus 11 kJ darbui), vektorius yra šiek tiek sudėtinga pridėti ar atimti. Žr. 1 veiksmą, kad sužinotumėte, kaip pridėti arba atimti vektorius.
Žingsnis
1 metodas iš 3: Vektorių, kurių sudedamosios dalys yra žinomos, pridėjimas ir atėmimas
Žingsnis 1. Užrašykite vektoriaus matmenų komponentus vektoriaus žymėjime
Kadangi vektoriai turi dydį ir kryptį, jie paprastai gali būti suskirstyti į dalis pagal x, y ir (arba) z matmenis. Šie matmenys paprastai užrašomi panašiu žymėjimu, siekiant apibūdinti tašką koordinačių sistemoje (pvz. Ir kt.). Jei žinote šią dalį, pridėti ar atimti vektorius yra labai paprasta, tiesiog pridėkite arba atimkite jų x, y ir z koordinates.
- Atkreipkite dėmesį, ar vektoriaus matmenys yra 1, 2 arba 3. Taigi vektorius gali turėti komponentus x, x ir y arba x, y ir z. Toliau pateiktame mūsų pavyzdyje naudojamas trimatis vektorius, tačiau procesas yra kaip 1 arba 2 matmenų vektorius.
- Tarkime, kad turime du trimatius vektorius, vektorių A ir vektorių B. Šiuos vektorius galime parašyti naudodami vektorių žymėjimą, pvz., A = ir B =, kur a1 ir a2 yra x komponentai, b1 ir b2 yra y komponentai, o c1 ir c2 yra sudedamosios dalys z.
2 veiksmas. Norėdami pridėti du vektorius, sudėkite jų komponentus
Jei žinomi du vektoriaus komponentai, vektorius galite pridėti pridedant kiekvieno komponento. Kitaip tariant, pridėkite pirmojo vektoriaus x komponentą prie antrojo vektoriaus x komponento ir darykite tą patį y ir z atveju. Atsakymas, kurį gausite sudėję tų vektorių x, y ir z komponentus, yra naujojo vektoriaus x, y ir z komponentai.
- Apskritai, A+B =.
- Pridėkime du vektorius A ir B. A = ir B =. A + B =, arba.
Žingsnis 3. Norėdami atimti abu vektorius, atimkite jų komponentus
Kaip aptarsime vėliau, atimant vieną vektorių iš kito, galima manyti, kad jis prideda jo abipusius vektorius. Jei žinomi abiejų vektorių komponentai, galima atimti vieną vektorių iš kito, atimant pirmąjį komponentą iš antrojo komponento (arba pridedant abiejų neigiamus komponentus).
- Apskritai, A-B =
- Atimkime du vektorius A ir B. A = ir B =. A - B =, arba.
2 iš 3 metodas: paveikslų pridėjimas ir atėmimas naudojant galvos ir uodegos metodą
Žingsnis 1. Simbolizuokite vektorių piešdami jį naudodami galvą ir uodegą
Kadangi vektoriai turi ir dydį, ir kryptį, galime pasakyti, kad jie turi uodegą ir galvą. Kitaip tariant, vektorius turi pradžios tašką ir pabaigos tašką, nurodantį vektoriaus kryptį, kurios atstumas nuo pradžios taško yra lygus vektoriaus dydžiui. Piešiamas vektorius įgauna rodyklės formą. Rodyklės galas yra vektoriaus galva, o vektoriaus linijos galas yra uodega.
Jei kuriate vektorinį brėžinį su matmenimis, turėsite tiksliai išmatuoti ir nupiešti visus kampus. Neteisingas vaizdo kampas paveiks rezultatą, kai naudojant šį metodą bus pridėti arba atimti du vektoriai
Žingsnis 2. Norėdami pridėti, piešti arba perkelti antrąjį vektorių taip, kad uodega atitiktų pirmojo vektoriaus galvą
Tai vadinama galvos ir uodegos vektorių derinimu. Jei tik sudedate du vektorius, štai ką turite padaryti prieš surasdami gautą vektorių.
Atminkite, kad vektorių pridėjimo tvarka nėra svarbi, jei naudojate tą patį pradinį tašką. Vektorius A + vektorius B = vektorius B + Veltorius A
Žingsnis 3. Norėdami atimti, pridėkite neigiamą ženklą prie vektoriaus
Vektorių sumažinimas naudojant vaizdus yra labai paprastas. Pakeiskite vektoriaus kryptį, tačiau išlaikykite tą patį dydį ir pridėkite savo vektoriaus galvą ir uodegą, kaip įprasta. Kitaip tariant, norėdami atimti vektorių, pasukite vektorių 180o ir sudėti.
4 veiksmas. Jei pridėsite arba atimsite daugiau nei du vektorius, sujunkite visus vektorius eilės tvarka nuo galvos iki uodegos
Sujungimo tvarka nesvarbi. Šis metodas gali būti naudojamas nepriklausomai nuo vektorių skaičiaus.
Žingsnis 5. Nubrėžkite naują vektorių nuo pirmojo vektoriaus uodegos iki paskutinio vektoriaus galvos
Nesvarbu, ar pridedate/atimate du vektorius, ar šimtą, vektorius, kuris tęsiasi nuo jūsų pradinio taško (pirmojo vektoriaus uodegos) iki paskutinio vektoriaus pabaigos taško (paskutinio vektoriaus galva), yra gautas vektorius arba visų jūsų vektorių suma. Atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius yra visiškai toks pat kaip vektorius, gautas sudėjus visus x, y ir (arba) z komponentus.
- Jei piešiate visus savo vektorius pagal dydį, teisingai išmatuodami visus kampus, gauto vektoriaus dydį galite nustatyti išmatuodami ilgį. Taip pat galite išmatuoti kampą tarp rezultato ir bet kurio vektoriaus horizontaliai arba vertikaliai, kad nustatytumėte jo kryptį.
- Jei nubrėžiate ne visus savo vektorius pagal dydį, gali tekti apskaičiuoti gauto rezultato dydį naudojant trigonometriją. Galbūt sinuso ir kosinuso taisyklės padės. Jei pridedate daugiau nei du vektorius, naudinga pirmąjį vektorių pridėti prie antrojo, tada antrojo rezultatą pridėti prie trečiojo ir pan. Daugiau informacijos rasite tolesniuose skyriuose.
Žingsnis 6. Nubrėžkite gautą vektorių naudodami jo dydį ir kryptį
Vektorius apibrėžiamas pagal jo ilgį ir kryptį. Kaip ir aukščiau, darant prielaidą, kad tiksliai nubraižėte savo vektorių, naujojo vektoriaus dydis yra jo ilgis, o jo kryptis - kampas vertikalios arba horizontalios krypties atžvilgiu. Naudokite pridėtus arba atimtus vienetų vektorius, kad nustatytumėte gauto vektoriaus dydžio vienetus.
Pavyzdžiui, jei pridėti vektoriai rodo greitį ms-1, tada gautą vektorių galima apibrėžti kaip "greitis x ms-1 prieš y o į horizontalią kryptį.
3 metodas iš 3: Vektorių pridėjimas ir atėmimas nurodant vektorinius matmenų komponentus
Žingsnis 1. Naudokite trigonometriją, kad nustatytumėte vektoriaus komponentus
Norėdami rasti vektoriaus komponentus, paprastai turite žinoti jo dydį ir kryptį, palyginti su horizontalia ar vertikalia kryptimi, ir suprasti trigonometriją. Darant prielaidą, kad yra 2 matmenų vektorius, pirmiausia pagalvokite apie savo vektorių kaip stačiakampio trikampio, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios x ir y kryptims, hipotenuzę. Šios dvi pusės gali būti laikomos vektoriaus nuo galvos iki uodegos sudedamosiomis dalimis, kurios sudaro jūsų vektorių.
- Abiejų pusių ilgiai yra lygūs jūsų vektoriaus x ir y komponentams ir gali būti apskaičiuoti naudojant trigonometriją. Jei x yra vektoriaus dydis, kraštinė, esanti greta vektoriaus kampo (horizontalios, vertikalios ir kitų krypčių atžvilgiu) xcos (θ), o priešinga pusė yra xsin (θ).
- Taip pat labai svarbu atkreipti dėmesį į komponentų kryptį. Jei komponentas nurodo neigiamą koordinatę, jam suteikiamas neigiamas ženklas. Pavyzdžiui, 2 matmenų plokštumoje, jei komponentas yra nukreiptas į kairę arba žemyn, jis yra neigiamas.
- Pvz., Tarkime, kad turime vektorių, kurio dydis 3 ir kryptis 135o horizontalės atžvilgiu. Turėdami šią informaciją galime nustatyti, kad x komponentas yra 3cos (135) = - 2, 12 ir y komponentas yra 3sin (135) = 2, 12
2 veiksmas. Pridėkite arba atimkite du ar daugiau susijusių vektorių
Suradę visų savo vektorių komponentus, sudėkite juos, kad surastumėte gauto vektoriaus komponentus. Pirma, sudėkite visus horizontalių komponentų dydžius (kurie yra lygiagrečiai x krypčiai). Atskirai sudėkite visus vertikalių komponentų dydžius (lygiagrečius y krypčiai). Jei komponentas yra neigiamas (-), jo dydis atimamas, o ne pridedamas. Jūsų atsakymas yra gauto vektoriaus komponentas.
Pvz., Prie vektoriaus pridedamas ankstesnio veiksmo vektorius,. Tokiu atveju gautas vektorius tampa arba
Žingsnis 3. Apskaičiuokite gauto vektoriaus dydį naudodami Pitagoro teoremą
Pitagoro teorema c2= a2+b2, naudojamas stačiakampio trikampio kraštinės ilgiui rasti. Kadangi trikampis, kurį sudaro mūsų gautas vektorius ir jo komponentai, yra stačias trikampis, mes galime jį naudoti norėdami rasti vektoriaus ilgį ir dydį. Jei c yra ieškomo vektoriaus dydis, tarkime, kad a yra x komponento dydis, o b - y komponento dydis. Išspręskite naudodami algebrą.
-
Norėdami rasti vektoriaus, kurio komponentų mes ieškojome ankstesniame žingsnyje, dydį, naudokite Pitagoro teoremą. Išspręskite taip:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Žingsnis 4. Apskaičiuokite gautą kryptį naudodami funkciją Tangent
Galiausiai raskite gautą krypties vektorių. Naudokite formulę = įdegis-1(b/a), kur yra x arba horizontalios krypties suformuoto kampo dydis, b yra y komponento dydis, o a yra x komponento dydis.
-
Norėdami rasti mūsų vektoriaus kryptį, naudokite = tan-1(b/a).
- = įdegis-1(-6, 88/3, 66)
- = įdegis-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Žingsnis 5. Nubrėžkite gautą vektorių pagal jo dydį ir kryptį
Kaip parašyta aukščiau, vektorius apibrėžia jų dydis ir kryptis. Būtinai naudokite savo vektoriaus dydžiui tinkamus vienetus.
Pavyzdžiui, jei mūsų vektorinis pavyzdys reiškia jėgą (Niutonais), tada galime ją parašyti "jėga 7,79 N iki -61,99 o į horizontalią ".
Patarimai
- Vektorius skiriasi nuo didelio.
- Tos pačios krypties vektorius galima pridėti arba atimti pridedant arba atimant jų dydžius. Jei tu apibendrinti du vektoriai, kurie yra priešingi, jų dydžiai atimami, o ne pridedami.
- Vektorius, pavaizduotus x i + y j + z k pavidalu, galima pridėti arba atimti pridedant arba atimant trijų vienetinių vektorių koeficientus. Atsakymas taip pat yra i, j ir k pavidalu.
- Trimatio vektoriaus dydį galite rasti naudodami formulę a2= b2+c2+d2 kur a yra vektoriaus dydis, o b, c ir d yra kiekvienos krypties komponentai.
- Stulpelių vektorius galima pridėti ir atimti pridedant arba atimant kiekvienos eilutės reikšmes.
